ИССЛЕДОВАНИЕ ЗАДАЧ О РЕКУРРЕНТНЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЯХ, ВХОДЯЩИХ В СОСТАВ ПСИХОЛОГИЧЕСКИХ ТЕСТОВ
Ю. В. ЧЕБРАКОВ
Введение
Как отмечает Айзенк (Айзенк, 1995), задачи о рекуррентных последовательностях включают в психологические тесты для того, чтобы исследовать специфические способности человека. При этом задачи могут быть изложены Двумя Способами.
Первый Способ состоит в том, что дается задание и предъявляются несколько решений, из которых все, кроме одного, являются ложными. Второй Способ состоит в том, что решение задачи испытуемый должен найти самостоятельно.
В качестве Примера Тестовой задачи, изложенной первым способом, рассмотрим следующее задание из широко известного теста Р. Кеттелла, применяемого для определения коэффициента интеллектуальности человека (Машков, 2003):
Укажите, какое число 10, 5 Или 7 Должно находиться на месте знака вопроса в последовательности чисел
N .... 1 2 3 4 5 6 An .... 1 2 3 6 5 ?
В этой задаче Правильным Ответом считается число 10. Основанием служит то, что обсуждаемая последовательность содержит два ряда чисел: 1, 1+2 = 3, 3+2 = 5, 5+2 = 7, 7+2 = = 9, … и 2, 2+4 = 6, 6+4 = 10, 10+4 = = 14, … . Используя элементарные сведения из общей теории рекуррентных соотношений, изложенные в приложении к данной статье, легко прийти к выводу, что На месте знака Вопроса, указанного в условии задачи, может стоять Любое Из чисел 10, 5 Или 7.
Действительно,
I) набор чисел 1, 2, 3, 6, 5 не является рекуррентной последовательностью первого порядка, так как эти числа не образуют геометрической прогрессии;
Ii) Если набор чисел 1, 2, 3, 6, 5 является рекуррентной последовательностью второго порядка, то справедливо уравнение
A =Ca + Ca
N+2 1N+1 0N
Полагая в этом уравнении N = 1, 2, получим
A2c0+a3c1 = A4 [2c0 + 3c1 =6
\2c0 + 4C1 =6 [2c0 + 3c1 = 6
Рекуррентное уравнение An+2 = = 3An Дает набор чисел 1, 2, 3, 6, 9, ..., который, очевидно, не совпадает с исходной числовой последовательностью. Таким образом, набор чисел 1, 2, 3, 6, 5 не является рекуррентной последовательностью второго порядка;
Iii) Если набор чисел 1, 2, 3, 6, 5 является рекуррентной последовательностью третьего порядка, то справедливо уравнение
A =ca
N+3 2 n+2
Так как для подсчета значений коэффициентов этого уравнения необходимо, чтобы исходная числовая последовательность содержала не менее шести чисел, запишем исходную последовательность в виде
1, 2, 3, 6, 5, M
Решая соответствующую систему уравнений, найдем, что обсуждаемый набор чисел образует рекуррентную последовательность порядка 3:
An+2 +7an+1 -
Доказательство закончено.
Легко также найти, что обсуждаемая последовательность чисел 1, 2, 3, 6, 5, 10, 7, 14, 9, ... является рекуррентной последовательностью порядка 4:
A N+4 2A N+2 N
И, следовательно, эта числовая последовательность полностью определяется заданием значений ее первых 8 чисел. Таким образом, для устранения выявленной неопределенности ответа достаточно в условии обсуждаемой задачи привести первые восемь чисел последовательности 1, 2, 3, 6, 5, 10, 7, 14, 9, ... . При этом формулировка исправленного варианта задачи может выглядеть, например, следующим образом:
Укажите, какое число 14, 9 Или 13 Должно находиться на месте знака Вопроса в последовательности чисел
N.... 12 3 4 5 6 7 An .... 1 2 3 6 5 10 ?
Цель Следующего раздела — продемонстрировать, что задачи, имеющие неоднозначный ответ, могут встретиться и среди известных тестовых задач, изложенных вторым способом.
Исследование задач, входящих в
Состав «Числового теста»
Г. Айзенка
В данном разделе исследуем 16 задач о рекуррентных последовательностях, входящих в состав широко известного «Числового теста» Г. Айзенка (Айзенк, 1995). Все эти задачи изложены вторым способом (см. введение) и имеют в «Числовом тесте» Г. Айзенка номера, указанные в скобках рядом с порядковым номером задачи.
Для каждой из исследуемых задач 1-16 далее приводится несколько ответов. Ответ 1 всегда содержит способ решения задачи, предлагаемый Г. Айзенком. Ответы 2 и 3 содержат некоторые альтернативные решения. Если хотя бы одно из решений, приводимых в ответах 1, 2, 3, отличается от других, то указывается новая формулировка задачи, позволяющая устранить неопределенность ответа. Если в ответе 1 рекуррентное соотношение приводится в круглых скобках, то это означает, что оно добавлено к решению Г. Айзенка автором данной работы.
1(1). Продолжите числовой ряд
N .... 1 2 3 4 5 An .... 18 20 24 32 ?
1 = an + 2n
И A5 = 32 + 24 = 48 Ответ 2: An+2 = 3an+1 —2an
И A5 = 3Ю2 — 2X24 = 48
2(3). Продолжите числовой ряд
N.... 1 2 3 4 5 An.... 212 179 146 113 ?
Ответ 1: An+1 = an~33
И A5= 113 —33 = 80
Ответ 2: An+2 = 2an+1 — An
И A5 = 2X113 — 146 = 80
3(5). Продолжите числовой ряд
N.... 12 3 4 5 6 7 An .... 6 8 10 11 14 14 ?
Ответ 1: Последовательность содержит два ряда чисел:
6, 6 + 4 = 10, 10 + 4 = 14, 14 + 4 = = 18, … и
8, 8 + 3 = 11, 11 + 3 = 14, 14 + 3 = = 17, …
И A7=18 (рекуррентное соотношение имеет вид An+4 = 2An+2 — An). Ответ 2: An+3 = (San+2 + 50An+1 —
- 3An)/22
И A7 = (—8X14 + 50X14 —
— 13X11)/22 = 20 5/22
Для устранения выявленной неопределенности ответа формулировку задачи Необходимо изменить
Следующим образом:
Продолжите числовой ряд
N.... 123456 7 89 An .... 6 8 10 11 14 14 18 17 ?
4(8). Продолжите числовой ряд
N.... 12 3 4 5 An.... 7 13 24 45 ?
Ответ 1: An+1 = 2an — N
И A5 = 2X45 — 4 = 86 (рекуррентное соотношение имеет вид An+3 = 4an+2 — 5an+1 + 2an) Ответ 2: An+2 = ~3an+1 + 9an
И A5 = —3X45 +9X24 = 81
Для устранения выявленной неопределенности ответа формулировку задачи Необходимо изменить
Следующим образом:
Продолжите числовой ряд
N.... 12 3 4 5 6 7 An .... 7 13 24 45 86 167 ?
5(10). Продолжите числовой ряд
N.... 12 3 4 5 6 An.... 4 5 7 11 19 ?
Ответ 1: An+1 = an + 2n-1
И A6 = 19 + 24 = 35 Ответ 2: An+2 = 3an+1 —2an
И A6 = 3X19 — 2X11 = 35
6(12). Продолжите числовой ряд
N.... 12 3 4 5 6 An.... 6 7 9 13 21 ?
Ответ 1: An+1 = 2an — 5
И A6 = 2X21 — 5 = 37
Ответ 2: An+1 = an + 2n-1 И A6 = 21 + 24 = 37
Ответ 3: An+2 = 3an+1 —2an
И A6 = 3X21 + 2X13 = 37
7(14). Продолжите числовой ряд
N.... 12 3 4 5 6 An .... 64 48 40 36 34 ?
Ответ 1: An+1 = an —25-n
И A6 = 34 — 1 = 33 Ответ 2: An+2 = (3an+1 —an)/2
И A6 = (3X34 — 36)/2= 33
8(17). Продолжите числовой ряд
N.... 1 2 3 4 5 6 7 An .... 15 13 12 11 9 9 ?
Ответ 1: Последовательность содержит два ряда чисел:
15, 15 — 3 = 12, 12 — 3 = 9, 9 — 3 = = 6, … и
13, 13 —2 = 11, 11 —2 = 9, 9 —2 = = 7, …
И A7 = 6 (рекуррентное соотношение имеет вид An+4 = 2An+2 — An)
Ответ 2: An+3 = (—7an+2 — 3an+1 + + Па^/12
И A7= (—7x9 —3X9 + 17х11)/12 = = 8 V12
Для устранения выявленной неопределенности ответа формулировку задачи Необходимо изменить
Следующим образом:
Продолжите числовой ряд
N.... 1 2 3456789 An .... 15 13 12 11 9 9 6 7 ?
9(19). Вставьте пропущенное число
N.... 1 2 3 4 5 6 7 An.... 11 12 14 ? 9 26 42
Ответ 1: An+1 = 2an — 10
И A4 = 2X14 — 10 = 18
Ответ 2: An+1 = an + 2n-1 И A4 = 14 + 22 = 18
Ответ 3: An+2 = 3an+1 —2an
И A4 = 3X14 + 2X12 = 18
10(29). Продолжите числовой ряд
N.... 12 3 4 5 An .... 172 84 40 18 ?
Ответ 1: An+1 = an/2 —2 И A5 = 18/2 —2 = 7
Ответ 2: An+2 = (3an+1 —an)/2 И A5 = (3X18 — 40)/2= 7
11(30). Продолжите числовой ряд
N.... 12 3 4 5 An .... 1 5 13 29 ?
Ответ 1: An+2 = an+1 + 2(an+1 —an) = = 3an+1 —2an
И A5 = 3X29 —2X13= 61 Ответ 2: An+1 = an + 2n+1
И A5 = 29 + 25 = 61
12(33). Продолжите числовой ряд
N.... 12 3 4 5 An .... 0 3 8 15 ?
Ответ 1: An+1 = an + 2n + 1
И A5 = 15 + 2X4 + 1= 24
Ответ 2: An = n2 — 1
И A5 = 25 — 1= 24; Рекуррентное соотношение имеет вид An+3 = 3An+2 — 3An+1 + An
Ответ 3: An+2 = (24an+1 — 19an)/9
(24X15 - 19X8)79 =
= 23 1/9
Для устранения выявленной неопределенности ответа формулировку задачи Необходимо изменить
Следующим образом:
Продолжите числовой ряд
N.... 12 3 4 5 6 7 An .... 0 3 8 15 24 35 ?
13(37). Продолжите числовой ряд
N.... 1234 5 6 78 An .... 4 7 9 11 14 15 19 ?
Ответ 1: Последовательность содержит два ряда чисел:
4, 4 + 5 = 9, 9 + 5 = 14, 14 + 5 = 19, … и
7, 7 + 4 = 11, 11 + 4 = 15, 15 + 4 = = 19, …
И A8 = 19 (рекуррентное соотношение имеет вид An+4 = 2An+2 — An).
Ответ 2: An+4 = (19an+3 + 75an+2 —
— 114А+1 + 10an)/9
N
И A8 = (19X19 +75X15 -
— 114X14 + 10X11)/9 = 0
Для устранения выявленной неопределенности ответа формулировку задачи Необходимо изменить
Следующим образом:
Продолжите числовой ряд
N.... 1234 5 6 7 89 An .... 4 7 9 11 14 15 19 19 ?
14(45). Продолжите числовой ряд
N.... 12 3 4 5 An.... 857 969 745 1193 ?
Ответ 1: An+1 = an + (—2)n-1Х112 И A5 = 1193 —23x112 = 297
Ответ 2: An+2 = ~an+1 + 2an
И A5 = —1193 + 2x745 = 297
15(48). Продолжите числовой ряд
N.... 12 3 4 5 An .... 7 19 37 61 ?
Ответ 1: An+1 = an + 6(n + 1)
И A5 = 61 + 6X5 = 91 Ответ 2: An = 3n(n + 1) + 1
И A5 = 3x5x6 + 1 = 91; Рекуррентное соотношение имеет вид An+3 = 3An+2 —3An+1 + An
Ответ 3: An+2 = (46an+1 —35an)/17 И A5 = (46X61 —35X37)/17 = = 88 15/17
Для устранения выявленной неопределенности ответа формулировку задачи Необходимо изменить Следующим образом:
Продолжите числовой ряд
N.... 12 3 4 5 6 7 An .... 7 19 37 61 91 127 ?
16(49). Продолжите числовой ряд
N.... 12 3 4 5 An .... 5 41 149 329 ?
Ответ 1: An = 36(n — 1)2 + 5
И A5 = 36X6 + 5 = 581 (рекуррентное соотношение имеет вид
A N+3 = 3A N+2 ~ 3A N+1 + A N)
Ответ 2: An+2 = (62an+1 — 121an)/13
И A5 = (62X329 — 121X149)/ 13 = 182 3/13
Для устранения выявленной неопределенности ответа формулировку задачи Необходимо изменить Следующим образом:
N.... 1 2 3 4 5 6 7 An .... 5 41 149 329 581 905 ?
Литература
Айзенк Г. Проверьте свои способности. СПб.: Лань, 1995.
Машков В. Н. Введение в психологию человека. СПб.: Изд-во В. А. Михайлова, 2003.
Маркушевич А. И. Возвратные последовательности. М.: Наука, 1983.
Чебраков Ю. В. Числа и линейные уравнения. СПб.: Изд-во БПА, 2006.
Приложение
Числовая последовательность {An}N=1 2 N Называется Рекуррентной Последовательностью порядка K (Маркушевич, 1983), если для членов этой последовательности выполняется рекуррентное соотношение
A n+k = c k-1 a n+k-1 + c k-2 a n+k-2 + ... + c 0N-
Пусть {An}N=1 2 N — Некоторая рекуррентная последовательность целых чисел. Объясним, каким образом можно найти Минимальный Порядок K Этой последовательности (Чебраков, 2006):
1) Предположим, что K = 1. Тогда для членов последовательности {An}N=1 2 N Дол
жно выполняться рекуррентное уравнение
An+1 = C0An , что возможно только в том случае, если {An}N=1 2 N Является геометрической прогрессией (со знаменателем a2/a 1).
2) Если K^1, То предположим, что K = 2. Тогда для членов последовательности
должно выполняться рекуррентное уравнение
A n+2 = C-/A_1 + 0N ,
Полагая в этом уравнении N = 1, 2, получим систему из двух линейных уравнений:
A1c0 + A2c1 =a3 A2c0 +a3c1 =a4
Где
A3A3 -A2A4
A3A3 -A2A4 C0 = и C1 =
A1A3 -A2A2 A1A3 -A2A2
Таким образом, если K = 2, то должно выполняться рекуррентное соотношение
An+2
A1A4 - A2A3 A1a3 - A2a2
N+1
+
A3A3 -A2A4 \
A n A1a3 -A2a2 I
С помощью полученного соотношения построим набор чисел {Aj}*J=3 4 N. Если окажется, что при J = 3, 4, …, N Aj = a*j, то, значит, K = 2.
3) Если K ^ 2, то предположим, что K = 3 и т. д.
.....................................................................................
L) Если K ^ L — 1, то предположим, что K = L. Тогда для членов последовательности должно выполняться рекуррентное уравнение
A n+k = c k-1 a n+k-1 + c k-2 a n+k-2 + ... + c 0N-
Полагая в этом уравнении N = 1, 2, ..., K, Получим систему из K Линейных уравнений:
AC 0 + ... + a-1 c-2 + ac-1 = A +1 Ac + ... + ac-2 + a +1 C-1 = A +2 .................. …………………………………………
Ac + ... + ac-2 + 2k-1 C-1 = A K
Матрицу коэффициентов этой системы обозначим через A = A KХK, столбец из неизвестных коэффициентов C0, C 1, ..., c K_1 — через C = CkХ1 И столбец из свободных членов a K+1, a K+2, ..., a 2k - Через B = B KХ1:
Подставив вычисленные значения C В рекуррентное соотношение, построим набор
Чисел {A J } J=K+1, K+2, , N-
Aj* = R(J)A~1B,
Где R(J) — Строка размерности 1Xk, Содержащая следующие элементы последовательности {An}N=1 2 N: Aj, Aj+1, ..., Aj+K-1. Если окажется, что при J = K + 1, K + 2, ..., Naj = A*J, То, значит, K = L.
Чебраков Юрий Владимирович, Санкт-Петербургский институт машиностроения, доктор технических наук, профессор
Контакты: