Книги по психологии

ИССЛЕДОВАНИЕ ЗАДАЧ О РЕКУРРЕНТНЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЯХ, ВХОДЯЩИХ В СОСТАВ ПСИХОЛОГИЧЕСКИХ ТЕСТОВ
Периодика - Психология. Журнал Высшей школы экономики

Ю. В. ЧЕБРАКОВ


Введение

Как отмечает Айзенк (Айзенк, 1995), задачи о рекуррентных после­довательностях включают в психо­логические тесты для того, чтобы ис­следовать специфические способно­сти человека. При этом задачи могут быть изложены Двумя Способами.

Первый Способ состоит в том, что дается задание и предъявляются нес­колько решений, из которых все, кроме одного, являются ложными. Второй Способ состоит в том, что ре­шение задачи испытуемый должен найти самостоятельно.

В качестве Примера Тестовой за­дачи, изложенной первым способом, рассмотрим следующее задание из широко известного теста Р. Кеттелла, применяемого для определения ко­эффициента интеллектуальности че­ловека (Машков, 2003):

Укажите, какое число 10, 5 Или 7 Должно находиться на месте знака вопроса в последовательности чисел

N .... 1 2 3 4 5 6 An .... 1 2 3 6 5 ?

В этой задаче Правильным Отве­том считается число 10. Основанием служит то, что обсуждаемая последо­вательность содержит два ряда чи­сел: 1, 1+2 = 3, 3+2 = 5, 5+2 = 7, 7+2 = = 9, … и 2, 2+4 = 6, 6+4 = 10, 10+4 = = 14, … . Используя элементарные сведения из общей теории рекур­рентных соотношений, изложенные в приложении к данной статье, легко прийти к выводу, что На месте знака Вопроса, указанного в условии задачи, может стоять Любое Из чисел 10, 5 Или 7.

Действительно,

I) набор чисел 1, 2, 3, 6, 5 не яв­ляется рекуррентной последователь­ностью первого порядка, так как эти числа не образуют геометрической прогрессии;

Ii) Если набор чисел 1, 2, 3, 6, 5 является рекуррентной последова­тельностью второго порядка, то справедливо уравнение

A =Ca + Ca

N+2 1N+1 0N

Полагая в этом уравнении N = 1, 2, получим

A2c0+a3c1 = A4 [2c0 + 3c1 =6



C1 = 0

C0 = 3

=>

=>

\2c0 + 4C1 =6 [2c0 + 3c1 = 6

Рекуррентное уравнение An+2 = = 3An Дает набор чисел 1, 2, 3, 6, 9, ..., который, очевидно, не совпадает с исходной числовой последователь­ностью. Таким образом, набор чисел 1, 2, 3, 6, 5 не является рекуррент­ной последовательностью второго порядка;

Iii) Если набор чисел 1, 2, 3, 6, 5 является рекуррентной последова­тельностью третьего порядка, то справедливо уравнение

+ ca

1 n+1

C0an

A =ca

N+3 2 n+2

Так как для подсчета значений ко­эффициентов этого уравнения необ­ходимо, чтобы исходная числовая последовательность содержала не менее шести чисел, запишем исход­ную последовательность в виде

1, 2, 3, 6, 5, M

Решая соответствующую систему уравнений, найдем, что обсуждае­мый набор чисел образует рекур­рентную последовательность поряд­ка 3:

18 - m

86-3m

An+3

An

4

4

An+2 +7an+1 -

Доказательство закончено.

Легко также найти, что обсужда­емая последовательность чисел 1, 2, 3, 6, 5, 10, 7, 14, 9, ... является рекур­рентной последовательностью по­рядка 4:

A N+4 2A N+2 N

И, следовательно, эта числовая по­следовательность полностью опреде­ляется заданием значений ее первых 8 чисел. Таким образом, для устране­ния выявленной неопределенности ответа достаточно в условии обсуж­даемой задачи привести первые во­семь чисел последовательности 1, 2, 3, 6, 5, 10, 7, 14, 9, ... . При этом фор­мулировка исправленного варианта задачи может выглядеть, например, следующим образом:

Укажите, какое число 14, 9 Или 13 Должно находиться на месте знака Вопроса в последовательности чисел

N.... 12 3 4 5 6 7 An .... 1 2 3 6 5 10 ?

Цель Следующего раздела — про­демонстрировать, что задачи, имею­щие неоднозначный ответ, могут встретиться и среди известных тес­товых задач, изложенных вторым способом.

Исследование задач, входящих в

Состав «Числового теста»

Г. Айзенка

В данном разделе исследуем 16 за­дач о рекуррентных последователь­ностях, входящих в состав широко известного «Числового теста» Г. Ай­зенка (Айзенк, 1995). Все эти задачи изложены вторым способом (см. вве­дение) и имеют в «Числовом тесте» Г. Айзенка номера, указанные в скобках рядом с порядковым номе­ром задачи.

Для каждой из исследуемых задач 1-16 далее приводится несколько ответов. Ответ 1 всегда содержит способ решения задачи, предлагае­мый Г. Айзенком. Ответы 2 и 3 со­держат некоторые альтернативные решения. Если хотя бы одно из реше­ний, приводимых в ответах 1, 2, 3, от­личается от других, то указывается новая формулировка задачи, позво­ляющая устранить неопределен­ность ответа. Если в ответе 1 рекур­рентное соотношение приводится в круглых скобках, то это означает, что оно добавлено к решению Г. Айзенка автором данной работы.

1(1). Продолжите числовой ряд

N .... 1 2 3 4 5 An .... 18 20 24 32 ?

Ответ 1:

N+

1 = an + 2n

И A5 = 32 + 24 = 48 Ответ 2: An+2 = 3an+1 —2an

И A5 = 3Ю2 2X24 = 48

2(3). Продолжите числовой ряд

N.... 1 2 3 4 5 An.... 212 179 146 113 ?

Ответ 1: An+1 = an~33

И A5= 113 —33 = 80

Ответ 2: An+2 = 2an+1 An

И A5 = 2X113 146 = 80

3(5). Продолжите числовой ряд

N.... 12 3 4 5 6 7 An .... 6 8 10 11 14 14 ?

Ответ 1: Последовательность со­держит два ряда чисел:

6, 6 + 4 = 10, 10 + 4 = 14, 14 + 4 = = 18, … и

8, 8 + 3 = 11, 11 + 3 = 14, 14 + 3 = = 17, …

И A7=18 (рекуррентное соотноше­ние имеет вид An+4 = 2An+2 An). Ответ 2: An+3 = (San+2 + 50An+1

- 3An)/22

И A7 = (—8X14 + 50X14

13X11)/22 = 20 5/22

Для устранения выявленной не­определенности ответа формулиров­ку задачи Необходимо изменить

Следующим образом:

Продолжите числовой ряд

N.... 123456 7 89 An .... 6 8 10 11 14 14 18 17 ?

4(8). Продолжите числовой ряд

N.... 12 3 4 5 An.... 7 13 24 45 ?

Ответ 1: An+1 = 2an N

И A5 = 2X45 4 = 86 (рекуррентное соотношение имеет вид An+3 = 4an+2 5an+1 + 2an) Ответ 2: An+2 = ~3an+1 + 9an

И A5 = —3X45 +9X24 = 81

Для устранения выявленной не­определенности ответа формулиров­ку задачи Необходимо изменить

Следующим образом:

Продолжите числовой ряд

N.... 12 3 4 5 6 7 An .... 7 13 24 45 86 167 ?

5(10). Продолжите числовой ряд

N.... 12 3 4 5 6 An.... 4 5 7 11 19 ?

Ответ 1: An+1 = an + 2n-1

И A6 = 19 + 24 = 35 Ответ 2: An+2 = 3an+1 —2an


И A6 = 3X19 — 2X11 = 35

6(12). Продолжите числовой ряд

N.... 12 3 4 5 6 An.... 6 7 9 13 21 ?

Ответ 1: An+1 = 2an — 5

И A6 = 2X21 — 5 = 37

Ответ 2: An+1 = an + 2n-1 И A6 = 21 + 24 = 37

Ответ 3: An+2 = 3an+1 —2an

И A6 = 3X21 + 2X13 = 37

7(14). Продолжите числовой ряд

N.... 12 3 4 5 6 An .... 64 48 40 36 34 ?

Ответ 1: An+1 = an —25-n

И A6 = 34 — 1 = 33 Ответ 2: An+2 = (3an+1 —an)/2

И A6 = (3X34 — 36)/2= 33

8(17). Продолжите числовой ряд

N.... 1 2 3 4 5 6 7 An .... 15 13 12 11 9 9 ?

Ответ 1: Последовательность со­держит два ряда чисел:

15, 15 — 3 = 12, 12 — 3 = 9, 9 — 3 = = 6, … и

13, 13 —2 = 11, 11 —2 = 9, 9 —2 = = 7, …

И A7 = 6 (рекуррентное соотноше­ние имеет вид An+4 = 2An+2 — An)

Ответ 2: An+3 = (—7an+2 — 3an+1 + + Па^/12

И A7= (—7x9 —3X9 + 17х11)/12 = = 8 V12

Для устранения выявленной не­определенности ответа формулиров­ку задачи Необходимо изменить

Следующим образом:

Продолжите числовой ряд

N.... 1 2 3456789 An .... 15 13 12 11 9 9 6 7 ?

9(19). Вставьте пропущенное число

N.... 1 2 3 4 5 6 7 An.... 11 12 14 ? 9 26 42

Ответ 1: An+1 = 2an — 10

И A4 = 2X14 — 10 = 18

Ответ 2: An+1 = an + 2n-1 И A4 = 14 + 22 = 18

Ответ 3: An+2 = 3an+1 —2an

И A4 = 3X14 + 2X12 = 18

10(29). Продолжите числовой ряд

N.... 12 3 4 5 An .... 172 84 40 18 ?

Ответ 1: An+1 = an/2 —2 И A5 = 18/2 —2 = 7

Ответ 2: An+2 = (3an+1 —an)/2 И A5 = (3X18 — 40)/2= 7

11(30). Продолжите числовой ряд

N.... 12 3 4 5 An .... 1 5 13 29 ?

Ответ 1: An+2 = an+1 + 2(an+1 —an) = = 3an+1 —2an

И A5 = 3X29 —2X13= 61 Ответ 2: An+1 = an + 2n+1

И A5 = 29 + 25 = 61

12(33). Продолжите числовой ряд

N.... 12 3 4 5 An .... 0 3 8 15 ?

Ответ 1: An+1 = an + 2n + 1

И A5 = 15 + 2X4 + 1= 24


Ответ 2: An = n2 1

И A5 = 25 1= 24; Рекуррентное соотношение имеет вид An+3 = 3An+2 3An+1 + An

Ответ 3: An+2 = (24an+1 19an)/9

И

A5

(24X15 - 19X8)79 =

= 23 1/9

Для устранения выявленной не­определенности ответа формулиров­ку задачи Необходимо изменить

Следующим образом:

Продолжите числовой ряд

N.... 12 3 4 5 6 7 An .... 0 3 8 15 24 35 ?

13(37). Продолжите числовой ряд

N.... 1234 5 6 78 An .... 4 7 9 11 14 15 19 ?

Ответ 1: Последовательность со­держит два ряда чисел:

4, 4 + 5 = 9, 9 + 5 = 14, 14 + 5 = 19, … и

7, 7 + 4 = 11, 11 + 4 = 15, 15 + 4 = = 19, …

И A8 = 19 (рекуррентное соотно­шение имеет вид An+4 = 2An+2 An).

Ответ 2: An+4 = (19an+3 + 75an+2

114А+1 + 10an)/9

N

И A8 = (19X19 +75X15 -

114X14 + 10X11)/9 = 0

Для устранения выявленной не­определенности ответа формулиров­ку задачи Необходимо изменить

Следующим образом:

Продолжите числовой ряд

N.... 1234 5 6 7 89 An .... 4 7 9 11 14 15 19 19 ?

14(45). Продолжите числовой ряд

N.... 12 3 4 5 An.... 857 969 745 1193 ?

Ответ 1: An+1 = an + (—2)n-1Х112 И A5 = 1193 —23x112 = 297

Ответ 2: An+2 = ~an+1 + 2an

И A5 = —1193 + 2x745 = 297

15(48). Продолжите числовой ряд

N.... 12 3 4 5 An .... 7 19 37 61 ?

Ответ 1: An+1 = an + 6(n + 1)

И A5 = 61 + 6X5 = 91 Ответ 2: An = 3n(n + 1) + 1

И A5 = 3x5x6 + 1 = 91; Рекуррентное соотношение имеет вид An+3 = 3An+2 —3An+1 + An

Ответ 3: An+2 = (46an+1 —35an)/17 И A5 = (46X61 —35X37)/17 = = 88 15/17

Для устранения выявленной нео­пределенности ответа формулировку задачи Необходимо изменить Следу­ющим образом:

Продолжите числовой ряд

N.... 12 3 4 5 6 7 An .... 7 19 37 61 91 127 ?

16(49). Продолжите числовой ряд

N.... 12 3 4 5 An .... 5 41 149 329 ?

Ответ 1: An = 36(n 1)2 + 5

И A5 = 36X6 + 5 = 581 (ре­куррентное соотношение имеет вид

A N+3 = 3A N+2 ~ 3A N+1 + A N)

Ответ 2: An+2 = (62an+1 121an)/13

И A5 = (62X329 121X149)/ 13 = 182 3/13


Для устранения выявленной не­определенности ответа формулиров­ку задачи Необходимо изменить Следующим образом:

N.... 1 2 3 4 5 6 7 An .... 5 41 149 329 581 905 ?



Литература

Айзенк Г. Проверьте свои способнос­ти. СПб.: Лань, 1995.

Машков В. Н. Введение в психологию че­ловека. СПб.: Изд-во В. А. Михайлова, 2003.

Маркушевич А. И. Возвратные после­довательности. М.: Наука, 1983.

Чебраков Ю. В. Числа и линейные уравнения. СПб.: Изд-во БПА, 2006.


Приложение

Числовая последовательность {An}N=1 2 N Называется Рекуррентной Последова­тельностью порядка K (Маркушевич, 1983), если для членов этой последовательности выполняется рекуррентное соотношение

A n+k = c k-1 a n+k-1 + c k-2 a n+k-2 + ... + c 0N-

Пусть {An}N=1 2 N Некоторая рекуррентная последовательность целых чисел. Объясним, каким образом можно найти Минимальный Порядок K Этой последователь­ности (Чебраков, 2006):

1) Предположим, что K = 1. Тогда для членов последовательности {An}N=1 2 N Дол­
жно выполняться рекуррентное уравнение

An+1 = C0An , что возможно только в том случае, если {An}N=1 2 N Является геометрической про­грессией (со знаменателем a2/a 1).

2) Если K^1, То предположим, что K = 2. Тогда для членов последовательности
должно выполняться рекуррентное уравнение

A n+2 = C-/A_1 + 0N ,

Полагая в этом уравнении N = 1, 2, получим систему из двух линейных уравнений:

A1c0 + A2c1 =a3 A2c0 +a3c1 =a4

Где


A3A3 -A2A4

A1A4 -A2A3

A3A3 -A2A4
C0
= и C1 =

A1A3 -A2A2 A1A3 -A2A2


Таким образом, если K = 2, то должно выполняться рекуррентное соотношение


An+2

A1A4 - A2A3 A1a3 - A2a2

N+1

+

A3A3 -A2A4 \

A n A1a3 -A2a2 I


С помощью полученного соотношения построим набор чисел {Aj}*J=3 4 N. Если окажется, что при J = 3, 4, …, N Aj = a*j, то, значит, K = 2.

3) Если K ^ 2, то предположим, что K = 3 и т. д.

.....................................................................................

L) Если K ^ L 1, то предположим, что K = L. Тогда для членов последовательности должно выполняться рекуррентное уравнение

A n+k = c k-1 a n+k-1 + c k-2 a n+k-2 + ... + c 0N-

Полагая в этом уравнении N = 1, 2, ..., K, Получим систему из K Линейных уравнений:

AC 0 + ... + a-1 c-2 + ac-1 = A +1 Ac + ... + ac-2 + a +1 C-1 = A +2 .................. …………………………………………

Ac + ... + ac-2 + 2k-1 C-1 = A K

Матрицу коэффициентов этой системы обозначим через A = A KХK, столбец из неиз­вестных коэффициентов C0, C 1, ..., c K_1 — через C = CkХ1 И столбец из свободных членов a K+1, a K+2, ..., a 2k - Через B = B KХ1:

A =

Ґ A1 a2 ... Ak Л A2 a3 ... Ak+1 C=

C0

C1

, B =

Ak+1 I Ak+2

Ak ak+1 ■ ■ ■ A2k-1 J

Ck-1

A2k J

Тогда полученную с Откуда

Истему уравнений можн C= A

О пред

-1B

Став

Ить в матричной форме AC = B .

Подставив вычисленные значения C В рекуррентное соотношение, построим набор

Чисел {A J } J=K+1, K+2, , N-

Aj* = R(J)A~1B,

Где R(J) — Строка размерности 1Xk, Содержащая следующие элементы последователь­ности {An}N=1 2 N: Aj, Aj+1, ..., Aj+K-1. Если окажется, что при J = K + 1, K + 2, ..., Naj = A*J, То, значит, K = L.

Чебраков Юрий Владимирович, Санкт-Петербургский институт машиностроения, доктор технических наук, профессор

Контакты: Gchebra@mail. ru