Книги по психологии

ВЫДЕЛЕНИЕ ЛИШНЕГО УСЛОВИЯ В АРИФМЕТИЧЕСКИХ ЗАДАЧАХ УЧЕНИКАМИ ВТОРОГО КЛАССА
Периодика - Психология. Журнал Высшей школы экономики

Т. Н. КОТОВА


Отправным пунктом для данного исследования послужила статья К. Д. Мут (Muth, 1991). Автор пред­лагала своим испытуемым — учени­кам 8-го класса средней школы — текстовые задачи, в половине кото­рых присутствовало лишнее условие (ЛУ). Наличие его зачастую путало испытуемого, приводило к тому, что он включал это условие в свое реше­ние и, таким образом, решал задачу неправильно. Основным же тезисом Мут стало утверждение ключевой роли в процессе выделения испытуе­мым ЛУ Предупреждения О том, что оно может присутствовать в задаче. Если испытуемому сообщали перед началом решения задачи: «Во время работы с задачами, помните, что тек­стовые задачи иногда содержат чис­ла, которые не нужны для получения правильного ответа», то количество испытуемых, правильно решивших эти задачи, значимо не отличалось от количества правильно решивших те же задачи без ЛУ. Если же испытуе­мым не давали такого предупреждения, то правильных решений задач с ЛУ было значимо меньше.

Трудность решения задач с ЛУ можно было бы проинтерпретиро­вать так: испытуемым сложно по­строить адекватную репрезентацию задачи при более широкой, непри­вычной структуре исходной инфор­мации. Понятие репрезентации зада­чи широко используется в современ­ной психологии: как в области педагогической психологии, так и в области психологии решения задач (Carpenter, Moser, 1983, 1984; Riley et al., 1983; Lewis, 1989, Dixon, Moore, 1997), кроме того, оно включено в ак­тивно исследуемое различение про­цессов понимания задачи (и в этом смысле построения ее репрезента­ции) и решения задачи (Mayer, 1986; Mayer et al., 1984). Под Репрезента­цией задачи В этих работах понима­ется построение испытуемым во внут­реннем плане взаимосвязанной и устойчивой структуры, интегрирую­щей информацию об условиях и тре­бованиях данной задачи.


Таким образом, работа Мут пока­зывает, что манипуляция с лишними условиями позволяет исследовать особенности репрезентации задачи испытуемым, так как определенным образом затрудняет этот процесс. Со своей стороны, нас интересовали возможности и особенности репре­зентации текстовых задач второклас­сниками, так как для них сам факт работы с текстовыми задачами явля­ется новым и, по существу, репрезен­тация задачи как отдельное действие осваивается в текущем учебном году. Этот факт отмечается во многих ра­ботах, посвященных начальному ма­тематическому образованию (Fuson, Willis, 1989; DeCorte et al., 1990; De-Corte, Verschaffel, 1981; Wolters, 1983). Именно поэтому мы начали исследование репрезентации тексто­вых задач второклассниками с ис­пользованием задач с ЛУ. Нас инте­ресовали, с одной стороны, отличия, которые могли обнаружиться в зако­номерностях работы с ЛУ у второ­классников по сравнению с ученика­ми 8-го класса, а также характер того влияния, которое на процесс реше­ния задачи второклассниками ока­жет ЛУ. Кроме того, одной из задач исследования был поиск различий между теми второклассниками, кото­рым удастся выделить ЛУ, и теми, кто не сможет этого сделать.

В первоначальном Пилотажном Исследовании мы предлагали испы­туемым 3 задачи разного типа:

Простую (арифметическую за­дачу, решаемую в одно действие) (П).

Пример: «У Васи было 4 тетради. Он купил себе еще 6 тетрадей. Сколько тетрадей стало у Васи?»;

Косвенную (также арифметиче­скую задачу, решаемую в одно действие, но отличающуюся тем, что логи­ка производимого при решении арифметического действия противо­речит «сюжету» задачи, см.: Щедро-вицкий, Якобсон, 1962) (К)

Пример: «На ветке сидели 5 пти­чек. Когда прилетело еще несколько птичек, на ветке стало 8 птичек. Сколько птичек прилетело?»;

Составную (арифметическую задачу, решаемую в 2 действия) (С).

Пример: «У Саши было 6 яблок, а у Миши на 2 больше. Сколько яб­лок было у мальчиков вместе?»

Всем испытуемым сначала предъ­являлись 3 задачи без ЛУ, а затем 3 аналогичных задачи разных типов с лишним условием в каждой из них. При этом половина испытуемых проходила через условия «с преду­преждением», а половине задачи с ЛУ предъявлялись Без предупреж­дения. (Условия «с предупреждени­ем» подробно описаны в разделе «Процедура».)

По результатам Пилотажного Ис­следования создавалось впечатле­ние, что второклассники, которые справлялись с Выделением ЛУ, в ос­новном отличались тем, что они ус­пешно решали Составную задачу без ЛУ. В то же время связи выделения ЛУ с решением косвенной задачи не намечались, а решение простой зада­чи в целом было на достаточно высо­ком уровне и потому не позволяло проводить никаких различий. Одна­ко количество испытуемых в пило­тажном исследовании было недоста­точным, и обнаруженные связи не обладали высоким уровнем значимо­сти.

Поэтому нами было запланирова­но и проведено более широкое иссле­дование, одной из основных гипотез которого стало утверждение, что вы­деление ЛУ и в косвенных, и в со­ставных задачах с ЛУ в большей сте­пени связано с успешным решением составных задач без ЛУ, нежели с ре­шением косвенных задач без ЛУ.

Это предположение было вполне реалистичным и с теоретической точ­ки зрения: составная задача требует удержания во внутреннем плане всей структуры задачи, пока решающий оперирует только с одной ее частью. Так, вычисляя количество книг, на которое «меньше книг на второй пол­ке», необходимо помнить, что полу­чится количество части книг, а не все книги вместе. Тогда как косвенная за­дача хотя и более контринтуитивна, чем простая, не требует такого сохра­нения во внутреннем плане не ис­пользуемой в актуальный момент ча­сти задачи. Ее сложность ограничена тем, чтобы решать арифметическую задачу не путем последовательного перевода текста в математическую запись, а пользуясь арифметически­ми операциями как приемами для нахождения требуемого по известно­му. Во внутреннем плане должна удерживаться лишь обратимая схема сюжета задачи, с полным составом которой и предстоит оперировать. Таким образом, репрезентация со­ставной задачи затруднена структу­рой задачи в большей степени, а, как мы уже показали выше, сложности, возникающие при решении задач с ЛУ, могут быть проинтерпретирова­ны как затруднения именно в обла­сти репрезентации задачи при более широкой, непривычной структуре исходной информации. Следова­тельно, достаточно легко предполо­жить, что испытуемый, который не будет успешен в сложной для репрезентации составной задаче, сделает ошибку и при работе с непривычны­ми для репрезентации задачами с ЛУ.

Кроме основного предположения, данное исследование позволяло нам подробнее рассмотреть само по себе умение решать составные и косвен­ные задачи: из чего оно складывает­ся, как происходит переход к овладе­нию этим действием, и является ли этот переход единым и целостным сдвигом или разные части этого дей­ствия осваиваются последовательно. В частности, в пилотажном исследо­вании мы обратили внимание на то, что актуальной для детей этого воз­раста, по-видимому, является работа с текстом задачи: часто для того, что­бы ребенок исправил свою ошибку, достаточно было лишь попросить его внимательнее перечитать текст. Большую трудность для детей пред­ставляет построение краткой записи задачи, отображающей все сложно­сти разделения в тексте задачи соб­ственно параметров условий и дета­лей, необходимых для построения сюжета. Так, например, в приведен­ной выше составной задаче ребенок, составляя краткую запись, выделя­ет первое условие: «Яблок — 6…» — и далее не знает, как писать второе условие, так как ухватился не за па­раметр, дифференцирующий два условия (у Саши — у Миши), а за де­таль сюжета (речь идет о яблоках). При рассмотрении этой стороны процесса решения необходимо обра­тить внимание на то, как она связана с описанным выше умением работать со структурой задачи, работать с ее частью, не теряя представления о це­лом. Что возникает раньше в рамках целостного процесса освоения умения решать арифметические задачи: умение работать с текстом и перево­дить условия из сюжета в структуру задачи или умение работать со структурой задачи? Есть ли вообще такое закономерное опережение, или опережение одного из них дру­гим — это случайная особенность? Или, возможно, два этих умения в действительности являются од­ними, потому осваиваются одновре­менно? Безусловно, в данной работе мы не можем говорить о причинных отношениях между обсуждаемыми процессами, но предполагаем иссле­довать по крайней мере связь между ними.

Методика

Испытуемые. 25 учеников из двух вторых классов подмосковной средней общеобразовательной шко­лы: 12 мальчиков, 13 девочек.

Материал. Нами были отобраны и сконструированы 12 задач: 3 зада­чи косвенного типа без ЛУ, 3 задачи составного типа без ЛУ, 3 задачи кос­венного типа c ЛУ, 3 задачи состав­ного типа с ЛУ. Каждая задача с ЛУ конструировалась из определенной задачи без ЛУ с помощью такой за­мены сюжета и чисел, чтобы путь ее решения оставался тем же, причем одно из условий дублировалось ана­логичным лишним условием.

Пример составной задачи с ЛУ и Без ЛУ:

«На одной полке стоят 10 книг, а на другой — на 5 книг больше. Сколько все­го книг на двух полках?»

«В одном ящике было 4 ручки, а в другом на 3 ручки больше и еще 2 ка­рандаша. Сколько ручек было в двух ящиках вместе?»

Порядок предъявления К-задач и С-задач варьировался, чтобы избе­жать эффекта последовательности.

Процедура. С каждым испытуе­мым работа велась индивидуально. Задачи предъявлялись в напечатан­ном виде, последовательно по мере решения. Время решения не ограни­чивалось. По ходу решения экспери­ментатор следил за тем, чтобы испы­туемый не отвлекался от выполне­ния задания, и в случае, если у него создавалось впечатление, что текст задачи недостаточно понят испытуе­мым при прочтении, предлагал про­читать задачу еще раз.

Сначала испытуемому предлага­лись 6 задач без ЛУ. Затем с полови­ной испытуемых обсуждали задачи с ЛУ (Условия «с предупреждени­ем»). У них спрашивали: «Знаешь ли ты, что бывают задачи, в которых не все числа нужны для решения? В за­даче есть несколько чисел, и некото­рые из них нужно использовать, ког­да решаешь, а некоторые — нет, встречал такие задачи?» (Тем самым, ожидая от ребенка ответа, а значит, осмысления вопроса, мы надеялись удостовериться в том, что ребенок понимает, какую именно особен­ность задачи мы описываем). Затем испытуемому сообщалось, что среди следующих задач такие могут встре­титься. После этого испытуемым также последовательно предлагали решать задачи с ЛУ.

Половине испытуемых такое пре­дупреждение сделано не было (Усло­Вия «без предупреждения»), и с ни­ми просто перешли от решения задач без ЛУ к решению задач с ЛУ.

После того как испытуемый запи­сывал число после знака «равно», экспериментатор выяснял, что это число означает, то есть, к примеру, если испытуемый писал «… = 4», у не­го спрашивали: «А 4 чего?», если от­вет был односложным – «4 каранда­ша» — уточняли: «Карандаша каких? Которые были, которые взяли или которые остались?»

По результатам решения каждой задачи фиксировались следующие параметры.

Правильность ответа (О) — мож­но ли в решении обнаружить число, арифметически верно соответствую­щее вопросу задачи. Подчас испытуе­мые, решая косвенную задачу, верно находили число, соответствующее ответу задачи, но в силу того, что в косвенной задаче по сюжету это чис­ло, как правило, бывает изменяемой частью, а не итогом, испытуемые за­писывали арифметическое действие, в котором это число стояло до знака «равно», т. е. арифметическое дей­ствие по сюжету задачи, а не по ее ре­шению. В таком случае засчитывался верный ответ.

Сохранение структуры задачи (ССЗ) — соответствуют ли произво­димые действия логике отношений между условиями и требованиями задачи. Для С-задачи это решение ее в два действия с нахождением в пер­вом из них того пункта, по поводу ко­торого есть только относительная информация. Для К-задачи это за­пись ее решения не по сюжету зада­чи, а сообразуясь с отношениями между вопросом и условиями.

Интерпретация ответа задачи (ИО) — верный ответ на вопрос о том, что означает в терминах условия число, полученное в результате ре­шения. При этом часто испытуемый решает задачу неверно и в результате получает по смыслу своих действий не то число, которое должен полу­чить по вопросу задачи, тогда верной будет интерпретация, соответствую­щая смыслу его действий.

В решениях задач с ЛУ, помимо названных параметров, фиксирова­лось Выделение ЛУ (ВЛУ) — ис­пользует ли испытуемый ЛУ в своем решении такой задачи.

Результаты и обсуждение

В целом ВЛУ было довольно вы­соким (М = 4.4; SD = 2.2). В отличие от восьмиклассников в исследовании К. Д. Мут, наши испытуемые Не пока­Зали высокого влияния на ВЛУ пре­дупреждения (T = 0.106, P > 0.1), что довольно удивительно. Мы объясня­ем это различием путей работы с за­дачей в этих двух возрастах, но, воз­можно, это следствие разной струк­туры задач, применяемых в двух исследованиях. И в пользу последне­го утверждения говорит то, что, как уже было сказано, испытуемые в по­давляющем числе ситуаций ЛУ вы­делили.

Статистическая проверка основ­ной гипотезы оказалась невозмож­ной, так как группы испытуемых, ре­шивших из задач двух типов С и К преимущественно задачи одного типа и не решивших задачи другого типа, в отличие от пилотажного исследо­вания, оказались очень малы. По-ви­димому, решение С-задачи было Ак­туальным моментом развития для детей в I Четверти И сильно «рассла­ивало» их, а уже во II четверти эти различия не дифференцируют детей.

Однако в целом Решение С и К-задач как суммарное значение значимо коррелирует с ВЛУ (R = 0.6, P < 0.01).


Непосредственно с Сохранением структуры задачи ВЛУ также свя­зано (R = 0.6, P < 0.01), тогда как с Интерпретацией ответа — в меньшей степени (R = 0.5, p < 0.05). Стоит так­же обратить внимание и на сопоста­вление этих двух показателей между собой для всех задач. Напомним, что мы считали верной ту интерпрета­цию ответа задачи, которая соответ­ствовала ходу решения (пусть и не­правильного по отношению к вопро­су задачи). Поэтому испытуемые мо­гли Сохранить структуру задачи и неверно проинтерпретировать от­вет (т. е., например, решить С-зада-чу в 2 действия, но не суметь отве­тить на вопрос, что означает число, получившееся в ответе), а могли и, напротив, Не сохранить структуру задачи и верно проинтерпретиро­вать получившийся ответ (решить С-задачу в одно действие, но при во­просе о том, что означает получив­шееся число, назвать объект, которо­му оно соответствует согласно смы­слу его действий, пусть это и не тот объект, о котором задается вопрос задачи: получив в одном действии только количество книг на второй полке и на том закончив решение за­дачи, испытуемый и оценивает ре­зультат своего действия как количе­ство книг на второй полке). Есте­ственно, что так как и то, и другое действие тесно переплетены с соб­ственно процессом решения задачи, детей, которые успешно выполняли бы одно из них, но не выполняли бы другое в отношении каждой задачи, было очень немного (всего для раз­ных задач 46 случаев из 300 реше­ний). Однако подавляющее число этих случаев приходится на сочета­ние «верно проинтерпретировал — не сохранил структуру задачи» — та­ких было 36, тогда как сочетание «неверно проинтерпретировал — сохранил структуру задачи» встре­чается гораздо реже — в 10 случаях. Эти различия статистически высоко значимы (х2 = 14.7, Р < 0.001). Такие данные можно было бы рассмотреть так: переход в области умения ин­терпретировать свои арифметиче­ские действия в терминах сюжета ребенок делает раньше, чем переход в области уже обсуждавшегося уме­ния удерживать во внутреннем пла­не структуру задачи. Если принять такое предположение, можно искать в этом направлении средство, приво­дящее к становлению у ребенка в це­лом умения решать задачи во вну­треннем плане.

Интересен также тот факт, что, хотя дети, верно решавшие задачу с ЛУ, как правило, выделяли ЛУ, об­наружились 24% испытуемых, у ко­торых ВЛУ Превышает Решение за­дач с ЛУ, как минимум, на 3 задачи из 6 (обратных примеров нет). Эта группа, с одной стороны, мала (только четверть всех испытуемых), а с другой стороны, ее отличие до­вольно резко и значительно (3 и бо­лее задач из 6), что дает основания считать признак «есть опережение ВЛУ по отношению к решению — нет такого опережения» скорее дис­кретным. А это, в свою очередь, по­зволяет рассматривать изменение по этому признаку как нечто характери­зующее поведение данного ребенка, а не случайное событие, с равной ве­роятностью могущее появиться у любого из испытуемых. Получив­шаяся группа интересна тем, что по­казывает: возможно, ВЛУ для вто­роклассников — маркер изменений, начинающихся вне сферы математи­ческих знаний, но затем отражаю­щихся и на ней.

Таким образом, в целом, несмотря на то что нам не удалось в данной ра­боте проверить основную гипотезу о соотношении освоенных типов задач

И умения выделять лишнее условие, в ней был исследован ряд вопросов, связанных с овладением умением ре­шать арифметические задачи, и ис­следованы отношения между разны­ми аспектами этого процесса при их возникновении.



Литература

Щедровицкий Г. П., Якобсон С. Г. К ана­лизу процессов решения простых ариф­метических задач. Сообщения 1–3 // До­клады АПН РСФСР. 1962. № 2–4.

De Corte E., Verschaffel L., Pauwels A. Influence of the Semantic Structure of Word Problems on Second Graders’ Eye Movements // Journal of Educational Psychology. 1990. Vol. 82, № 2. P. 359–365.

Fuson K., Willis G. Second Graders’ Use of Schematic Drawings in Solving Addition and Subtraction Word Problems // Journal of Educational Psychology. 1989. Vol. 81. № 4. P. 514–520.

Lewis A. B. Training Students to repres­ent arithmetic word problems // Journal of Educational Psychology. 1989. Vol. 81, № 4. P. 521–531.

Mayer R. Mathematics // R. F. Dillon, R. J. Sternberg (eds.). Cognition and in­struction. N. Y.: Academic Press, 1986.

Mayer R., Larkin J. H., Kadane J. B. A cognitive analysis of mathematical pro­blem-solving ability // R. J. Sternberg (ed.). Advances in psychology of human in­telligence. Hillsdale, NJ: Erlbaum, 1984. Vol. 2. P. 231–273.

Muth K. D. Effects of Cuing on Middle-School Students’Performance on Arithmet­ic Word Problems Containing Extraneous Information // Journal of Educational Psychology. 1991. Vol. 83. № 1. P. 173–174. Wolters M. A.D. The part-whole schema and arithmetic problems // Educational Studies in Mathematics. 1983. № 2. P. 127–138.


Котова Татьяна Николаевна, Российский государственный гуманитар­ный университет, преподаватель

Контакты: Tkotova@gmail. com