Оценка разброса
Ч - Что такое психология

Как мы уже отмечали, характер распределения результатов после воздействия изучаемого фактора в опытной группе дает существенную информацию о том, как испытуемые выполняли задание. Сказанное относится и к обоим распределениям в контрольной группе:

image274

Сразу бросается в глаза, что если средняя в обоих случаях почти одинакова, то во втором распределении результаты больше разбросаны, чем в первом. В таких случаях говорят, что у второго распределения больше диапазон, или размах вариаций, т. е. разница между максимальным и минимальным значениями.

Так, если взять контрольную группу, то диапазон распределения для фона составит 22 - 10 = 12, а после воздействия 25 - 8 = 17. Это позволяет предположить, что повторное выполнение задачи на глазодвигательную координацию оказало на испытуемых из контрольной группы определенное влияние: у одних показатели улучшились, у других ухудшились [*]. Однако для количественной оценки разброса результатов относительно средней в том или ином распределении существуют более точные методы, чем измерение диапазона.

[Здесь мог проявиться Эффект плацебо, связанный с тем, что запах дыма травы вызвал у испытуемых уверенность в том, что они находятся под воздействием наркотика. Для проверки этого предположения следовало бы повторить эксперимент со второй контрольной группой, в которой испытуемым будут давать только обычную сигарету.]

Чаще всего для оценки разброса определяют отклонение каждого из полученных значений от средней (M - image272), обозначаемое буквой D, а затем вычисляют среднюю арифметическую всех этих отклонений. Чем она больше, тем больше разброс данных и тем более разнородна выборка. Напротив, если эта средняя невелика, то данные больше сконцентрированы относительно их среднего значения и выборка более однородна.

Итак, первый показатель, используемый для оценки разброса, — это среднее отклонение. Его вычисляют следующим образом (пример, который мы здесь приведем, не имеет ничего общего с нашим гипотетическим экспериментом). Собрав все данные и расположив их в ряд

3, 5, 6, 9, 11, 14;

Находят среднюю арифметическую для выборки:

image275 = image276 = 8.

Затем вычисляют отклонения каждого значения от средней и суммируют их:

(3 - 8) + (5 - 8) + (6 - 8) + (9 - 8) + (11 - 8) + (14 - 8) = (-5) + (-3) + (-2) + (+1) + (+3) + (+6).

Однако при таком сложении отрицательные и положительные отклонения будут уничтожать друг друга, иногда даже полностью, так что результат (как в данном примере) может оказаться равным нулю. Из этого ясно, что нужно находить сумму Абсолютных Значений индивидуальных отклонений и уже эту сумму делить на их общее число. При этом получится следующий результат:

Среднее отклонение равно

image277 = image278 = image279 = 33,3.

Общая формула:

Среднее отклонение = image280,

Где Σ (сигма) означает сумму; |D| Абсолютное значение каждого индивидуального отклонения от средней; N — число данных.

Однако абсолютными значениями довольно трудно оперировать в алгебраических формулах, используемых в более сложном статистическом анализе. Поэтому статистики решили пойти по «обходному пути», позволяющему отказаться от значений с отрицательным знаком, а именно Возводить все значения в квадрат, а затем делить сумму квадратов на число данных. В нашем примере это выглядит следующим образом:

image281 = image282 = image283 = 14.

В результате такого расчета получают так называемую Вариансу [*]. Формула для вычисления вариансы, таким образом, следующая:

Варианса = image284.

[Варианса представляет собой один из показателей разброса, используемых в некоторых статистических методиках (например, при вычислении критерия F; см. следующий раздел). Следует отметить, что в отечественной литературе вариансу часто называют дисперсией. — Прим. перев.]

Наконец, чтобы получить показатель, сопоставимый по величине со средним отклонением, статистики решили извлекать из вариансы квадратный корень. При этом получается так называемое стандартное отклонение:

Стандартное отклонение = image285.

В нашем примере стандартное отклонение равно image286 = 3,74.

Следует еще добавить, что для того, чтобы более точно оценить стандартное отклонение для малых выборок (с числом элементов менее 30), в знаменателе выражения под корнем надо использовать не N, а N - 1:

σ = image287. [*]

[Стандартное отклонение для популяции обозначается маленькой греческой буквой сигма (σ), а для выборки — буквой S. Это касается и вариансы, т. е. квадрата стандартного отклонения: для популяции она обозначается σ2, а для выборки — S2.]

Вернемся теперь к нашему эксперименту и посмотрим, насколько полезен оказывается этот показатель для описания выборок.

На первом этапе, разумеется, необходимо вычислить стандартное отклонение для всех четырех распределений. Сделаем это сначала для фона опытной группы:

Расчет стандартного отклонения для фона контрольной группы

Испытуемые

Число пораженных мишеней в серии

Средняя

Отклонение от средней (D)

Квадрат отклонения от средней (D2)

1

19

15,8

-3,2

10,24

2

10

15,8

+5,8

33,64

3

12

15,8

+3,8

14,44

...

...

...

...

...

15

22

15,8

-6,2

38,44

Сумма (Σ) D2 = 131,94

Варианса (S2) = image288 = image289 = 9,42.

Стандартное отклонение (S) = image290 = image291 = 3,07.

Примечание: Формула для расчетов и сами расчеты приведены здесь лишь в качестве иллюстрации. В наше время гораздо проще приобрести такой карманный микрокалькулятор, в котором подобные расчеты уже заранее запрограммированы, и для расчета стандартного отклонения достаточно лишь ввести данные, а затем нажать клавишу S.

О чем же свидетельствует стандартное отклонение, равное 3,07? Оказывается, оно позволяет сказать, что бОЛьшая часть результатов (выраженных здесь числом пораженных мишеней) располагается в пределах 3,07 от средней, т. е. между 12,73 (15,8 - 3,07) и 18,87 (15,8 + 3,07).

Для того чтобы лучше понять, что подразумевается под «бОЛьшей частью результатов», нужно сначала рассмотреть те свойства стандартного отклонения, которые проявляются при изучении популяции с нормальным распределением.

Статистики показали, что при нормальном распределении «бОЛьшая часть» результатов, располагающаяся в пределах одного стандартного отклонения по обе стороны от средней, в процентном отношении всегда одна и та же и Не зависит от величины стандартного отклонения: она соответствует 68% популяции (т. е. 34% ее элементов располагается слева и 34% — справа от средней):

image292

Точно так же рассчитали, что 94,45% элементов популяции при нормальном распределении не выходит за пределы двух стандартных отклонений от средней:

image293

И что в пределах трех стандартных отклонений умещается почти вся популяция — 99,73 %.

image294

Учитывая, что распределение частот фона контрольной группы довольно близко к нормальному, можно полагать, что 68% членов Всей популяции, из которой взята выборка, тоже будет получать сходные результаты, т. е. попадать примерно в 13-19 мишеней из 25. Распределение результатов остальных членов популяции должно выглядеть следующим образом:

image295

Гипотетическая популяция, из которой взята контрольная группа (фон)

Что касается результатов той же группы после воздействия изучаемого фактора, то стандартное отклонение для них оказалось равным 4,25 (пораженных мишеней). Значит, можно предположить, что 68% результатов будут располагаться именно в этом диапазоне отклонений от средней, составляющей 16 мишеней, т. е. в пределах от 11,75 (16 - 4,25) до 20,25 (16 + 4,25), или, округляя, 12-20 мишеней из 25. Видно, что здесь разброс результатов больше, чем в фоне. Эту разницу в разбросе между двумя выборками для контрольной группы можно графически представить следующим образом:

image296

image297

Поскольку стандартное отклонение всегда соответствует одному и тому же проценту результатов, укладывающихся в его пределах вокруг средней, можно утверждать, что при любой форме кривой нормального распределения та доля ее площади, которая ограничена (с обеих сторон) стандартным отклонением, всегда одинакова и соответствует одной и той же доле всей популяции. Это можно проверить на тех наших выборках, для которых распределение близко к нормальному, — на данных о фоне для контрольной и опытной групп.

Итак, ознакомившись с описательной статистикой, мы узнали, как можно представить графически и оценить количественно степень разброса данных в том или ином распределении. Тем самым мы смогли понять, чем различаются в нашем опыте распределения для контрольной группы до и после воздействия. Однако можно ли о чем-то судить по этой разнице — отражает ли она действительность или же это просто артефакт, связанный со слишком малым объемом выборки? Тот же вопрос (только еще острее) встает и в отношении экспериментальной группы, подвергнутой воздействию независимой переменной. В этой группе стандартное отклонение для фона и после воздействия тоже различается примерно на 1 (3,14 и 4,04 соответственно). Однако здесь особенно велика разница между средними — 15,2 и 11,3. На основании чего можно было бы утверждать, что эта разность средних действительно достоверна, т. е. достаточно велика, чтобы можно было с уверенностью объяснить ее влиянием независимой переменной, а не простой случайностью? В какой степени можно опираться на эти результаты и распространять их на всю популяцию, из которой взята выборка, т. е. утверждать, что потребление марихуаны и в самом деле обычно ведет к нарушению глазодвигательной координации?

На все эти вопросы и пытается дать ответ индуктивная статистика.