Параметрические методы, Жо Годфруа

Метод Стьюдента (T-тест)

Это параметрический метод, используемый для проверки гипотез о достоверности разницы средних при анализе количественных данных о популяциях с нормальным распределением и с одинаковой вариансой [*].

[К сожалению, метод Стьюдента слишком часто используют для малых выборок, не убедившись предварительно в том, что данные в соответствующих популяциях подчиняются закону нормального распределения (например, результаты выполнения слишком легкого задания, с которым справились все испытуемые, или же, наоборот, слишком трудного задания не дают нормального распределения).]

Метод Стьюдента различен для независимых и зависимых выборок. Независимые выборки получаются при исследовании двух различных групп испытуемых (в нашем эксперименте это контрольная и опытная группы). В случае независимых выборок для анализа разницы средних применяют формулу

T = ,

Где — средняя первой выборки;

— средняя второй выборки;

S1 — стандартное отклонение для первой выборки;

S2 — Стандартное отклонение для второй выборки;

N1 И N2 — Число элементов в первой и второй выборках.

Теперь осталось лишь найти в таблице значений T (см. дополнение Б.5) величину, соответствующую N - 2 степеням свободы, где N — общее число испытуемых в Обеих Выборках (см. дополнение Б.4), и сравнить эту величину с результатом расчета по формуле.

Если наш результат больше, чем значение для уровня достоверности 0,05 (вероятность 5%), найденное в таблице, то можно отбросить нулевую гипотезу (H0) и принять альтернативную гипотезу (H1), т. е. считать разницу средних достоверной.

Если же, напротив, полученный при вычислении результат меньше, чем табличный (для N - 2 степеней свободы), то нулевую гипотезу нельзя отбросить и, следовательно, разница средних недостоверна.

В нашем эксперименте с помощью метода Стьюдента для независимых выборок можно было бы, например, проверить, существует ли достоверная разница между фоновыми уровнями (значениями, полученными до воздействия независимой переменной) для двух групп. При этом мы получим:

T = = = 0,53.

Сверившись с таблицей значений T, мы можем прийти к следующим выводам: полученное нами значение T = 0,53 меньше того, которое соответствует уровню достоверности 0,05 для 26 степеней свободы (η = 28); следовательно, уровень вероятности для такого T Будет выше 0,05 и нулевую гипотезу нельзя отбросить; таким образом, разница между двумя выборками недостоверна, т. е. они вполне могут принадлежать к одной популяции.

Сокращенно этот вывод записывается следующим образом:

T = 0,53; η = 28; P > 0,05; недостоверно.

Однако наиболее полезным T-тест окажется для нас при проверке гипотезы о достоверности разницы средней между результатами опытной и контрольной групп после воздействия [*]. Попробуйте сами найти для этих выборок значения и сделать соответствующие выводы:

T = = =

[Как уже говорилось, поскольку объем выборок в данном случае невелик, а результаты опытной группы после воздействия не соответствуют нормальному распределению, лучше использовать непараметрический метод, например U-тест Манна—Уитни.]

Значение T ..... , чем табличное для 0,05 ( ..... степеней свободы). Следовательно, ему соответствует порог вероятности..... , чем 0,05. В связи с этим нулевая гипотеза может (не может) быть отвергнута. Разница между выборками достоверная (недостоверна?):

T = .....; η = .....; P ..... (<, =, > ?) 0,05; .....

Метод Стьюдента для зависимых выборок

К зависимым выборкам относятся, например, результаты одной и той же группы испытуемых до и после воздействия независимой переменной. В нашем случае с помощью статистических методов для зависимых выборок можно проверить гипотезу о достоверности разницы между фоновым уровнем и уровнем после воздействия отдельно для опытной и для контрольной группы.

Для определения достоверности разницы средних в случае зависимых выборок применяется следующая формула:

T = ,

Где D — Разность между результатами в каждой паре;

ΣD — Сумма этих частных разностей;

ΣD2 — сумма квадратов частных разностей.

Полученные результаты сверяют с таблицей T, отыскивая в ней значения, соответствующие N - 1 степени свободы; N — это в данном случае число Пар Данных (см. дополнение Б.3).

Перед тем как использовать формулу, необходимо вычислить для каждой группы частные разности между результатами во всех парах, квадрат каждой из этих разностей, сумму этих разностей и сумму их квадратов [*].

[Все эти расчеты необходимо сделать в чисто учебных целях. Сегодня существуют более быстрые методы, при которых основная работа сводится к вводу данных в программируемый микрокалькулятор или в компьютер, который автоматически выдает результат. Приведенная здесь таблица помогает понять все расчеты, которые осуществляются такими машинами.]

Необходимо произвести следующие операции:

Контрольная группа. Сравнение результатов для фона и после воздействия

ΣD = +3.

ΣD2 = 55.

T = = = = 0,39.

Величина T = 0,39 ниже той, которая необходима для уровня значимости 0,05 при 14 степенях свободы. Иными словами, Порог вероятности Для такого T Выше 0,05. Таким образом, нулевая гипотеза не может быть отвергнута, и разница между выборками недостоверна. В сокращенном виде это записывается следующим образом:

T = 0,39; η = 14; P > 0,05; недостоверно.

Теперь попробуйте самостоятельно применить метод Стьюдента для зависимых выборок к обоим распределениям опытной группы с учетом того, что вычисление частных разностей для пар дало следующие результаты:

ΣD = -59 и ΣD2 = 349;

T = = = .

Значение T ..... , чем то, которое соответствует уровню значимости 0,05 для..... степеней свободы. Значит, нулевая гипотеза..... , а различие между выборками..... .

Запишите это в сокращенном виде.

Дисперсионный анализ (тест F Снедекора)

Метод Снедекора — это параметрический тест, используемый в тех случаях, когда имеются три или большее число выборок. Сущность этого метода заключается в том, чтобы определить, является ли Разброс средних для различных выборок относительно общей средней Для всей совокупности данных достоверно отличным от Разброса данных относительно средней в пределах каждой выборки. Если все выборки принадлежат одной и той же популяции, то разброс между ними должен быть не больше, чем разброс данных внутри их самих.

В методе Снедекора в качестве показателя разброса используют Вариансу (дисперсию). Поэтому анализ сводится к тому, чтобы сравнить вариансу распределений между выборками с вариансами в Пределах Каждой выборки, или:

T = .....; η = .....; P ..... (<, =, > ?) 0,05; различие.....

F = ,

Где — варианса средних каждой выборки относительно общей средней;

— варианса данных внутри каждой выборки.

Если различие между выборками недостоверно, то результат должен быть близок к 1. Чем больше будет F По сравнению с 1, тем более достоверно различие.

Таким образом, дисперсионный анализ показывает, принадлежат ли выборки к одной популяции, но с его помощью нельзя выделить те выборки, которые отличаются от других. Для того чтобы определить те пары выборок, разница между которыми достоверна, следует после дисперсионного анализа применить метод Шеффе. Поскольку, однако, этот весьма ценный метод требует достаточно больших вычислений, а к нашему гипотетическому эксперименту он неприменим, мы рекомендуем читателю для ознакомления с ним обратиться к какому-либо специальному пособию по статистике.