Ваш психолог ФОРМИРОВАНИЕ КОМБИНАТОРНОГО МЫШЛЕНИЯ У МЛАДШИХ ШКОЛЬНИКОВ И ПОДРОСТКОВ
Г. В. БУРМЕНСКАЯ, Л. В. ЕВДОКИМОВА
Представлены результаты эмпирического исследования становления комбинаторного мышления у младших школьников и подростков в трех типах условий: стихийное развитие, школьное обучение, целенаправленное формирование. Показана принципиальная недостаточность стихийного опыта и необходимость специально организованной пропедевтики комбинаторных понятий. Описаны содержание ориентировочной основы действий по составлению комбинаторных соединений, а также методика формирования обобщенного способа решения комбинаторных задач. Установлен и прослежен в динамике значительный развивающий эффект освоения учащимися комбинаторного способа рассуждений в контексте их общего умственного развития.
Ключевые слова: умственное развитие, комбинаторное мышление, метод поэтапного формирования умственных действий и понятий.
Становление комбинаторного мышления относится к числу малоизученных аспектов умственного развития в онтогенезе. Хотя обстоятельное изучение формирования комбинаторных структур мышления было начато еще в достаточно давних работах школы Ж. Пиаже (1950–1970-е гг.), в отечественной психологии данная проблематика, по сути, выпала из поля зрения исследователей. В современной психологической литературе она лишь «по касательной» затрагивается в работах отдельных авторов ([9], [21], [22], [30], [31] и др.). Между тем комбинаторные способы рассуждения играют важную роль в общей структуре научного мышления, поэтому в современных условиях требования к уровню комбинаторно-вероятностного мышления учащихся существенно повышаются. Официальным признанием этого обстоятельства стало постановление Министерства образования Российской Федерации (от 23.09.2003 г.) о планировании с 2006 г. обязательного введения в программу общеобразовательной школы по математике раздела «Комбинаторика, статистика и теория вероятностей».
Известно, что попытки включения данного раздела в школьный курс математики в нашей стране неоднократно предпринимались, но не вели к успеху. Анализируя причины неудач, математики и педагоги (см. [1]–[4], [16], [28] и др.) столкнулись с парадоксальной ситуацией: оказалось, что в Начальной Школе вводить комбинаторно-вероятностные понятия Рано, так как большинству младших школьников еще недостает необходимой «логической базы», а также соответствующего математического аппарата (дроби), но В старших классах Вводить их оказывается уже Поздно, поскольку к почти столь же слабой логической готовности добавляется обязательная для преподавания математики в этом возрасте формализация знаний — опора на предъявление и освоение материала сразу в виде сжатых математических Формул. Подобная формализация
31
Становится дополнительным серьезным препятствием на пути освоения указанных понятий.
05.10.2012
30
2
Между тем принципиальное значение комбинаторики, выходящее далеко за пределы собственно математического знания, обусловлено тем, что в ее основе лежит способность субъекта определять, рассматривать и учитывать Все возможные варианты Сочетания каких-либо признаков или событий (а не только некоторые, отдельные). Данная способность образует необходимую предпосылку логически полноценного рассуждения. Не случайно, характеризуя главные достижения формально-операциональной стадии развития мышления, Ж. Пиаже и Б. Инельдер подчеркивали, что специфика логики на этой стадии состоит не столько в том, что, освобождаясь от необходимости в конкретной предметной опоре, она реализуется как собственно Вербальная Логика, а в том, что она начинает учитывать Все возможные, Все мыслимые комбинации [20].
В специальной серии экспериментов [32] они установили, что способность детей комбинировать факторы и анализировать результаты их взаимодействия возникает в онтогенезе достаточно поздно — лишь в подростковом возрасте и даже позднее. При этом самостоятельно приобретаемые подростками комбинаторно-вероятностные представления, как правило, еще далеко не совершенны — они не обладают нужной степенью четкости, обобщенности и слабо осознаются, т. е. имеет место явление выраженного горизонтального декаляжа — растянутости во времени процесса функционального «включения» комбинаторных структур в зависимости от сложности материала, к которому они применяются. Такова картина стихийного способа освоения комбинаторики, но, может быть, элементарные комбинаторные представления успешно формируются в рамках целенаправленного школьного обучения, в частности при освоении соответствующего раздела математики?
Результаты многочисленных исследований ([1], [2], [6], [17], [28] и др.) показали, что и при специальном обучении только небольшая часть учеников средних общеобразовательных школ овладевает умением проводить комбинаторные рассуждения. Большинство же учащихся не могут построить рассуждения при решении комбинаторных задач таким образом, чтобы найти все возможные варианты, соответствующие условию, и в то же время не допустить повторов. Показательно, что зачастую дети действуют хаотично, тогда как число учащихся, осуществляющих перебор вариантов по определенной системе, обычно не превышает 5–15 %, причем успешность прямо зависит от сложности задачи (количества элементов исходного множества и численности наборов). Несмотря на то, что с возрастом успешность выполнения комбинаторных задач несколько повышается, в целом она остается на достаточно низком уровне, что было продемонстрировано даже на примере студентов-математиков педвуза [24].
Некоторые причины такого неудовлетворительного положения обнаруживаются в ходе психологического анализа практикуемых методов преподавания комбинаторики. Например, даже в наиболее удачных учебниках математики для средней и старшей школы ([13]–[15], [18]) объяснение комбинаторики часто начинается прямо С формулы или с описания способа Подсчета числа возможных соединений (сочетаний, размещений или перестановок) с помощью таблиц и графов. При этом молчаливо предполагается, что Действия по реальному построению Наборов (комбинаций) элементов изучаемых соединений детям заведомо известны, а соотношение исходного множества с получаемыми на его основе наборами элементов носит очевидный характер. Вопрос о специальной Организации ориентировки В указанных отношениях не ставится.
С психологической точки зрения такую методику следует охарактеризовать как обучение на основе первого типа ориентировки (П. Я. Гальперин), когда ученик путем проб и ошибок сам ищет (и, разумеется,
05.10.2012
30
32
Не всегда находит!) условия, недостающие ему для правильного выполнения заданий [8]. Применительно к комбинаторике это значит, что, решая задачи, дети сами должны научиться выделять и соотносить между собой, с одной стороны, исходное множество (элементов, предметов и т. д.), а с другой — набор (т. е. подмножество), а также целый ряд свойств составляемых наборов (например, качественный состав, порядок элементов и другие признаки). На практике многим ученикам это оказывается не под силу. Как известно, успешность обучения детей на основе неполной ориентировки в предмете не столько влияет на развитие мышления, сколько само зависит от достигнутого ими уровня интеллектуального развития, т. е. способностей учащихся, — именно это положение и демонстрируют весьма ярко трудности преподавания комбинаторики в школе.
ЦЕЛИ, ГИПОТЕЗЫ И ОРГАНИЗАЦИЯ ИССЛЕДОВАНИЯ
В связи с этим Целью Данного исследования стало определение системы психологических условий, необходимых для формирования понятий комбинаторного мышления, и разработка на этой основе программы обучения учащихся средней школы обобщенному способу решения комбинаторных задач. Для реализации этой цели мы обратились к положениям теории поэтапного формирования действий и понятий П. Я. Гальперина ([7], [8]), концепции учебной деятельности Д. Б. Эльконина и В. В. Давыдова ([5], [9], [29]) и теории онтогенетических стадий интеллектуального развития Ж. Пиаже [10], [26]. Если исследования Ж. Пиаже намечают основные вехи возрастной картины становления комбинаторных структур и дают ценные средства оценки интеллектуального развития, тонкие диагностические задания ([11], [19], [32]), то теория учебной деятельности и построения учебного предмета Д. Б. Эльконина и В. В. Давыдова важна тем, что раскрывает оптимальные способы организации Содержания Усваиваемого предмета. Главным теоретическим основанием исследования стала теория П. Я. Гальперина, в которой он показал, что главную и собственно психологическую сторону деятельности субъекта составляет ее Ориентировочная Сторона, что полнота и характер ориентировки субъекта решающим образом влияют на хо д обучения и его результаты. Кроме того, мы использовали успешно воплощенную в русле данного направления ценную идею о необходимости (при усвоении новой деятельности) организации специальной Пропедевтики, т. е. вводного, предварительного этапа обучения, расширяющего ориентировку детей и подготавливающего их к знакомству с новым предметным содержанием. Ярким примером пропедевтики, предшествующей введению понятия числа в программе по математике для первоклассников, может служить обучение детей качественной оценке соотношения величин на основе использования средств и эталонов, приобретение ими опыта выделения и сравнения различных параметров [8]. Среди современных исследований, продуктивно реализующих идею пропедевтики, следует отметить работы В. Б. Хозиева [27].
На основе теоретического анализа проблемы были выдвинуты три Гипотезы: 1. Развитие комбинаторного мышления у детей связано с практическим опытом оперирования множествами и зависит от характера Ориентировки В основных свойствах множества (объем, состав, порядок элементов и др.). 2. Усвоение полноценной ориентировки в свойствах множества и его элементов делает доступными понятия математической комбинаторики не только для подростков, но и для Младших школьников. 3. Формирование основных типов соединений из области математической
05.10.2012
30
4
Комбинаторики (сочетания, размещения, перестановки) служит эффективным средством Развития комбинаторного мышления детей и подростков.
Организация исследования предполагала три последовательные серии. Констатирующая Серия была направлена на определение
33
Исходного уровня умственного развития детей, а также анализ трудностей усвоения комбинаторных представлений при традиционном обучении математике в школе. В задачи Формирующей Серии входило выявление содержания ориентировочной деятельности учащихся при овладении действием по составлению разных типов комбинаторных соединений; построение, опробование и коррекция программы пропедевтики и поэтапного освоения комбинаторных представлений. На этапе Контрольной Серии оценивалось влияние формирующей программы и предваряющей ее пропедевтики на показатели комбинаторного мышления, а также общего умственного развития детей. Дополнительно прослеживалась динамика комбинаторных представлений у подростков в условиях стихийного развития, т. е. вне какого-либо обучения. Подчеркнем, что для объективной и полной оценки эффективности экспериментальной программы параллельно ей проводилось обучение комбинаторным понятиям Традиционным Способом (в контрольных группах). Возрастные Особенности комбинаторного мышления изучались путем сравнения показателей учащихся двух возрастных ступеней — младших школьников и подростков. В исследовании приняли
Участие 42 учащихся IV классов и 57 — VIII классов средней общеобразовательной
1 Школы № 7 г. Кимовска Тульской области. Возраст учеников начальной школы
Составлял 9;8–10;11 лет, возраст учащихся среднего звена школы — 13;6–5;6 лет.
МЕТОДИКИ ИССЛЕДОВАНИЯ
Комплекс заданий констатирующего эксперимента включал четыре блока методик.
1. Первый Блок содержал средства оценки Общего умственного развития («Прогрессивные матрицы» Дж. Равена [23], тест Г. Уилсон и Д. Гриллс [25]).
2. Второй Блок заданий был направлен на оценку уровня Операционального развития Детей. Здесь применялись пять задач Ж. Пиаже и Б. Инельдер ([11], [32]) из области
комбинаторики, случайности и вероятности в их классической форме с использованием
клинического метода беседы. Например, в задаче на объединение операций ребенку
предлагались карточки с цифрами (сначала с двумя, потом с тремя и т. д.), из которых он
должен был составить все возможные двузначные числа. После предъявления пяти цифр
он должен был сформулировать правило подсчета количества таких чисел. В задаче на
представления о случайном распределении дискретных элементов предлагалось
предугадать результат перемешивания бусин при нескольких последовательных наклонах
коробки.
3. Для Третьего Блока был подобран ряд задач из области Математической
Комбинаторики — на Перестановки, сочетания, размещения с повторением и без
2 Повторения (всего их было шесть). Задания были взяты из наиболее новых учебников по
Математике [13]–[15]. Пример задачи на Перестановки С повторением: «Сколько
Различных трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3 при условии, что цифры в
Числе могут повторяться?» Пример задачи на Сочетания С повторением: «Сколькими
Способами девочка может купить два воздушных шарика, если в магазине есть шары
05.10.2012
30 5
Четырех цветов: красные, синие, зеленые и желтые?» Пример задачи на Размещение Без повторения: «Три друга (Антон, Борис, Дима) приобрели два билета на футбол на первое и второе места первого ряда. Сколько существует способов занять эти места?»
4. Четвертый Блок диагностического комплекса включал задания на Понимание
34
Вероятности Из исследования Э. Фишбейна и Д. Шнарца [30]. Эти задания позволяли оценить возможное влияние освоения комбинаторных понятий на эволюцию представлений о вероятности. Примером заданий может служить задача на сложное и простое событие: «Одновременно бросают две игральные кости. Вероятность какого события больше: а) выпадет 5 и 6; б) выпадет 6 и 6; в) а может быть, вероятность этих событий одинакова?»
РЕЗУЛЬТАТЫ И ИХ ОБСУЖДЕНИЕ
Результаты, полученные в констатирующей серии эксперимента, выявили следующую картину развития мышления. По критериям общего умственного развития (матрицы Дж. Равена и тест Г. Уилсон и Д. Гриллс) уровень интеллекта большинства участников эксперимента соответствовал «средней норме» (43 % учеников в IV и 47 % в VIII классах) и «ниже среднего» (41 и 37 % соответственно), но, конечно, были дети, представляющие высокий и пограничный уровни (последний составлял десятую часть в обеих возрастных группах).
При выполнении задач Ж. Пиаже и Б. Инельдер был отмечен весьма значительный диапазон разброса полученных результатов. И у младших школьников, и у подростков встречались все три уровня операциональной логики: дооперациональный, конкретно-операциональный и уровень формальных операций, однако их соотношение зависело как от возраста, так и от типа предъявляемой задачи (рис. 1). В группе младших школьников доминировал конкретно-операциональный уровень выполнения; у подростков конкретно-операциональный и формально-операциональный уровни встречались одинаково часто, однако присутствовали и ответы самого низкого, дооперационального, уровня, соответствующие дошкольному возрасту.
Успешность решения задач из области математической комбинаторики также зависела от возраста детей и типа предъявляемой задачи. Практически все задачи на перестановки и размещения (с повторением и без) оказались для младших школьников недоступными, тогда как задачи на сочетания оказались для них легче. Подростки были в целом успешнее, но и у них самый низкий, первый, уровень выполнения преобладал в задаче на размещения с повторением, в то время как правильные решения (третьего
05.10.2012
30
6
Уровня) доминировали в задачах на перестановки и сочетания без повторения (рис. 2). Значительный разброс результатов по конкретному материалу задач указывает на влияние различий в стихийно приобретаемом детьми опыте действий со множествами. Задачи на понимание вероятности оказались практически недоступны младшим школьникам. У подростков встречались отдельные правильные ответы, однако влияние наиболее распространенных иллюзий было весьма велико.
Таким образом, в целом по уровню общего умственного развития, операционального развития, а также по состоянию комбинаторно-вероятностного мышления между детьми и подростками имели место
35
Весьма существенные различия (по критерию Манна–Уитни р=0,000), в то время как различия между экспериментальными и контрольными группами одной возрастной ступени были статистически не значимы. При этом качественный анализ результатов констатирующего эксперимента наглядно показал, почему многочисленные попытки преподавания понятий математической комбинаторики в начальной и даже средней школе вызывают у учащихся такие большие трудности и часто усваиваются лишь формально: при стихийном развитии логические структуры мышления, лежащие в основе понятий математической комбинаторики, появляются у большинства учащихся только к середине подросткового возраста и позднее. Начальные логические предпосылки для знакомства с понятиями собственно Математической Комбинаторики присутствовали в среднем у пятой части четвероклассников (21 %) и менее чем у половины восьмиклассников (43 %). Заметим, что полностью учесть все возможные варианты во всех комбинаторных задачах смогли только два подростка, серьезно увлекающихся шахматами. В данном случае очевидна связь успешного развития комбинаторной логики с их опытом систематического «просчитывания» различных комбинаций в ходе игры в шахматы.
Следующая — формирующая — серия исследования проводилась на основе метода экспериментального формирования действия по составлению комбинаторных соединений. Пилотажная серия эксперимента показала, что многие трудности детей проистекали из недостаточного учета ими элементарных свойств множеств и составляющих их элементов, однако обучение действию систематического перебора элементов не устраняло многочисленных ошибок («лишние» варианты, их пропуск и др.),
05.10.2012
30
Поскольку сам Принцип порождения Различных соединений (наборов) на основе исходного множества оставался для них скрыт. Чтобы показать происхождение наборов, была организована специальная подготовка — Пропедевтика. Аналогично тому, как формирование счета и понятия числа в начальной школе следует начинать не с номинального введения числового ряда, а с дочисловой пропедевтики, направленной на овладение детьми навыками сравнения величин, измерения и понятием меры [7], так же и введение комбинаторики следует начинать не с построения частных видов соединений, а с ознакомления с «поведением» элементов множеств при разных способах их классификации в подмножества (наборы).
В ходе такой пропедевтики дети приобретали Опыт оперирования множествами,
36
Осваивали понятия «исходное множество», «набор» (подмножество) и их соотношение. В результате собственных действий по построению разнообразных соединений они убеждались, что наборы могут отличаться как по числу элементов, так и по их качественному составу, повторяемости, а также положению (порядку), что комбинировать элементы можно по-разному и от этого зависит реальный состав и число вариантов, что при составлении наборов одновременно могут участвовать несколько признаков элементов (множественная мультипликация) и т. д.
Этап пропедевтики показал возможность составления Единой Схемы ориентировки во всех трех основных типах комбинаторных соединений (сочетания, размещения, перестановки), благодаря чему основы комбинаторики предстали в виде Целостной системы. В содержание полной ориентировочной основы входило четкое выделение детьми Четырех условий: 1) свойств Исходного множества (объема и качественного состава); 2) свойств образуемых Наборов (качественного состава и числа элементов); 3) возможности Повторения Элементов при составлении наборов; 4) значения Порядка Следования элементов в наборе. Отчетливая ориентировка детей на четыре названные характеристики, которые при традиционном обучении предполагаются очевидными и специально учителем не выделяются, позволила Объединить Три разных типа комбинаторных соединений в общей схеме ориентировочной основы действия (ООД). В результате как сходные, так и отличительные черты этих соединений отчетливо предстали перед учениками (рис. 3).
Экспериментальная методика по Усвоению ООД была разработана нами также в традициях метода планомерно-поэтапного формирования умственных действий и понятий П. Я. Гальперина. Использовалась групповая форма осуществления метода формирующего эксперимента. Представим кратко содержание его этапов.
Первый был направлен на создание мотивационной основы формируемого действия, т. е. возбуждение познавательного интереса учащихся к комбинаторным заданиям. Для этого в ходе совместного обсуждения конкретных примеров, хорошо известных детям из повседневной жизни (ситуации выбора старосты и заместителя, составления графика дежурства в классе, подбор варианта кода и т. д.), им показывали, что интуитивные оценки количества возможных вариантов часто ошибочны, а метод хаотического перебора, к которому прибегали учащиеся, чаще всего не дает правильного результата.
В ходе следующего этапа — действия на основе схемы полной ООД — дети тщательно исследовали элементный состав комбинаторных объектов. Во многом это исследование осуществлялось самими детьми и только направлялось руководителем, который так подбирал задачи, чтобы вызвать определенную постановку вопроса, а затем
05.10.2012
30 8
И определенный ответ на него. Но в целом формирование велось по второму типу ориентировки, когда дети действовали в условиях полной ООД, но не устанавливали ее всю самостоятельно — ее схема была предложена в готовом виде. Такой тип ориентировки гарантирует безошибочность действия, заданный диапазон его обобщенности, высокий уровень осознанности, критичности и других первичных и вторичных свойств действия. Заметим, что традиционная для поэтапного формирования схема ООД (см. рис. 3) была дополнена специальным пунктом («Проверь полученные наборы по указанным признакам»), содержащим ориентиры, с помощью которых дети должны были систематически проверять правильность полученных результатов. Это дополнение, во-первых, способствовало усвоению действия самоконтроля, а во-вторых, стимулировало усвоение детьми сложного комплекса сходных и отличительных признаков для каждого соединения.
Основное содержание этапа выполнения действия в материальной и материализованной форме составило решение ряда специально подобранных комбинаторных
37
05.10.2012
30
9
38
Задач с использованием ориентировочной карточки и разнообразного материала, подходящего для составления наборов (круги, квадраты и другие фигуры из картона разного цвета, жетоны с цифрами, буквами). Вначале задачи предполагали выполнение комбинаторных действий с реальным предметным материалом, затем для составления наборов использовались символические замещения предметов и объектов,
05.10.2012
30
Фигурировавших в задачах (учебных дисциплин в расписании, членов спортивных команд и т. д.). На данном этапе широко применялись и приемы графического моделирования в виде построения разного рода графов.
Этап громкой речи начинал подготавливаться на предшествующем этапе — в ходе обсуждения детьми действий по составлению наборов. Это достигалось за счет внутригруппового взаимодействия учащихся: работа в малых группах (по 4–5 человек) позволяла организовать самостоятельное выполнение каждым ребенком предложенных заданий, а также совместное обсуждение и проверку детьми действий друг друга.
После решения пяти-шести задач в материальной и материализованной форме экспериментатор предлагал детям решать следующие задачи без обращения к материальной схеме ООД, зафиксированной на карточке, но продолжать громко проговаривать содержание операций, которые они должны выполнить в соответствии с этой схемой. Учащиеся сначала проговаривали вслух вопросы и ответы, потом только ответы; таким образом, речевое сопровождение постепенно сокращалось, а скорость выполнения заданий увеличивалась. На этапе внутренней речи дети проговаривали последовательность действий только «про себя». Здесь происходил переход к решению все более трудных задач, а также с целью обобщения формируемого действия задания широко варьировались по материалу (с разным сочетанием существенных и несущественных признаков), предлагалось большое число примеров по каждому типу заданий, которые дети решали легко и с интересом. Младшим школьникам требовалось десять занятий, подросткам — пять.
Занятия с младшими школьниками и подростками из экспериментальных групп велись по единой методике, однако у подростков оказалось возможным более сокращенное прохождение начальных этапов формирования. Например, этапы создания мотивационной основы и составления ООД были объединены в ходе одного занятия, графы как средство организации перебора вводились уже в первых задачах. Кроме того, знание подростками дробей позволяло ввести в методику основные комбинаторные формулы и решать более сложные задачи (с большим числом элементов в соединениях).
Параллельно экспериментальному формированию комбинаторики у младших школьников и подростков проводилось обучение в контрольных группах по методике, разработанной математиками-педагогами и рекомендованной Министерством образования РФ (в данном изложении эта методика условно называется «традиционной», в отличие от предлагаемой «экспериментальной»). Чем же отличалось обучение по традиционной программе от экспериментального, кроме поэтапной организации и опоры на ООД? Оно также реализовывалось в двух возрастных вариантах (для IV и VIII классов по семь и десять уроков) и содержало задачи на все типы комбинаторных соединений, но не предполагало их четкого соотнесения и дифференциации между собой: сочетания, размещения и перестановки изучались последовательно (а не в единой системе, как в экспериментальной программе). Объяснение нового материала проводилось в виде устного разъяснения решения конкретных задач с активным использованием схематических средств организации перебора и представления результатов — таблиц и графов [6], [12]–[15], [17].
В процессе традиционного обучения среди детей из контрольных групп быстро
39
Возникло заметное расслоение в зависимости от особенностей их мотивации и успешности усвоения материала. Наиболее подготовленные учащиеся обычно
05.10.2012
30
11
Оказывались успешнее остальных: количество допущенных ими ошибок постепенно, но неуклонно сокращалось по мере увеличения количества решенных задач. Они с интересом воспринимали новые задания, сохранив высокий уровень учебной мотивации до конца занятий. Другая часть учащихся выполняли комбинаторные задачи с переменным успехом, они с интересом решали некоторые задачи, но не стремились решить все, обходя трудные. Наконец, третья часть состояла из учащихся, которые на первом же занятии теряли интерес из-за сложности понимания материала. Таким образом, здесь ярко проявились характерные недостатки традиционного обучения (сильный разброс по успеваемости, зависимость от способностей, потеря интереса у менее успешных учащихся), которые в равной мере присутствовали и у младших школьников, и у подростков. В экспериментальных группах, где обучение строилось на основе полной ООД, подобных явлений не было.
Контрольный Эксперимент был направлен на оценку эффективности экспериментальной программы, прослеживание динамики изменений в комбинаторном мышлении и общем умственном развитии детей, а также выявление возможного влияния формирования начальных комбинаторных представлений на развитие вероятностного мышления. Сравнение результатов двух контрольных серий (сразу после формирования и спустя три месяца) выявило следующую картину. Хотя оба вида обучения основам комбинаторики оказали влияние на успешность выполнения испытуемыми комбинаторных задач, эффективность экспериментальной методики обучения была существенно выше, чем традиционной (рис. 4): если до обучения различия результатов экспериментальной и контрольной групп одной возрастной ступени были не значимыми (р=0,173 для младших школьников, р=0,530 для подростков по критерию Манна–Уитни), то после обучения они достигли убедительной статистической значимости (соответственно р=0,000 и р=0,005).
У младших школьников из экспериментальной и контрольной групп значимость различий в результатах констатирующей серии и первого (сразу после обучения) контрольного среза достигла высшего статистического уровня (р=0,000 по критерию Вилкоксона для связанных выборок). Дисперсионный анализ (метод повторных измерений) подтвердил очевидное влияние обеих программ обучения при том, что степень влияния экспериментального формирования была заметно выше (F=215,6 и F=112,7 при р=0,000). В возрастной группе подростков картина была аналогичной (F=62,19 при р=0,000 и F=25,02 при р=0,001 в экспериментальной и контрольной группах соответственно). Фактически младшие школьники из экспериментальной группы достигли уровня подростков, и такие результаты сохранились у них и при отсроченном контроле — через три месяца.
Показательно, что результаты детей при традиционном обучении сохраняли тесную зависимость от их исходного уровня успеваемости по математике, в то время как формирующая программа обучения, предоставив равные возможности для продвижения всех учащихся, резко ослабила такую зависимость. Рис. 5 и 6 наглядно показывают, что и троечники, и хорошисты (в группе подростков) в ходе формирующего обучения оказались способными сделать практически такой же скачок, как и отличники. В то же время при традиционной форме преподавания подобного выравнивания учащихся на высших показателях не наблюдалось.
Сфера влияния усвоения основ комбинаторики не ограничилась только решением соответствующих задач, но также затронула показатели Операционального Мышления (задания Ж. Пиаже) и общего умственного развития детей (тесты Дж. Равенна
05.10.2012
30
12
И Д. Гриллс, Г. Уилсон). Изменился сам способ рассуждения детей: четкое выделение и систематический перебор признаков, одновременный учет нескольких оснований и др. действия они свободно переносили в контекст совершенно иных (чем в обучении) заданий, например, классических матричных тестов. Сам факт переноса учащимися полученных знаний в ходе формирования на новые задания исключал возможность их формального усвоения и подтверждал значительный развивающий эффект усвоения понятий математической комбинаторики (рис. 7 и 8).
Отметим, что наиболее мощное развивающее влияние формирующего обучения имело место в возрастной группе младших школьников: четвероклассники с особым интересом относились к занятиям, где путем преобразования исходного множества в предметно-практическом плане они учились самостоятельно составлять разнообразные наборы элементов. Их живой интерес и весьма успешные результаты указывают на высокую сензитивность младших школьников к усвоению комбинаторного материала, что в свою очередь свидетельствует о возможности и целесообразности введения данного раздела уже в начальной школе.
Знакомство с комбинаторными операциями также оказало определенное положительное влияние на понимание детьми вероятностных задач, хотя и не вело к автоматическому распространению формально-операционального уровня их рассуждений из области комбинаторики на область вероятностных событий. Поскольку комбинаторика служит основой для исчисления вероятностей, главный развивающий эффект формирующей программы следует ожидать в ходе освоения учащимися задач, требующих количественной оценки вероятностей.
ВЫВОДЫ
05.10.2012
30
13
1. Общая картина развития мышления учащихся младшего школьного и подросткового возраста характеризуется неравномерностью и ярко выраженными индивидуальными различиями. В обеих возрастных группах встречаются ответы как дооперационального, конкретно-операционального,
41
Так и уровня формальных операций. Хотя с возрастом (в условиях стихийного развития) способность детей к комбинаторному рассуждению постепенно растет и подростки в целом успешнее младших школьников решают комбинаторные задачи, однако темпы подобного продвижения медленны и зависят от особенностей и предметного содержания задач. В результате имеет место весьма значительный разброс в достигаемом уровне комбинаторных представлений, когда в среднем лишь пятая часть четвероклассников и менее половины восьмиклассников демонстрируют нормативно ожидаемый уровень, при этом у части детей комбинаторные суждения находятся на крайне низком (дошкольном) уровне. Тот факт, что в условиях стихийного развития логические структуры мышления, лежащие в основе комбинаторики, появляются у большей части учащихся только к середине подросткового возраста и позже, объясняет особую трудность попыток преподавания комбинаторики в школе, их низкую успешность и формализм знаний.
2. Необходимым психологическим условием развития комбинаторного мышления у детей и подростков выступает Ориентировка На такие свойства множества и его подмножеств, как объем, а также состав, порядок и повторяемость элементов. Подобная ориентировка формируется на основе действия по составлению наборов из множеств и раскрывает генетически исходные отношения трех основных типов комбинаторных соединений (размещений, сочетаний и перестановок). Для успешного освоения логических предпосылок комбинаторного мышления детям требуется специальная Пропедевтика, в ходе которой они приобретают реальный (т. е. предметно-практический, а не только вербально-знаковый) опыт действия с множествами. Между тем стихийно-
05.10.2012
30
14
Практическое освоение детьми окружающего мира обычно не обеспечивает им ни достаточного опыта по составлению множеств, ни ориентировки в их составе, а традиционные методы обучения игнорируют их, преподнося комбинаторные понятия в виде формул.
3. Методика поэтапного формирования действия по составлению наборов из множеств (вместе с предшествующей ей пропедевтикой) обеспечивает полноценное усвоение учащимися понятий математической
42
Комбинаторики. Отсроченная по времени (три месяца) проверка качества усвоенных комбинаторных понятий подтвердила их прочность и обобщенный характер в обеих возрастных группах. Важным условием эффективности экспериментальной методики было преподнесение ориентировки в разных типах комбинаторных соединений учащимся в виде Единой целостной системы. В отличие от раздельного их представления, принятого в существующих программах преподавания комбинаторики, Системная ориентировка Раскрывает генетически исходные отношения, делая наглядными все пункты сходства и различий между типами соединений. Это открывает возможность усвоения действительно Обобщенного Способа решения комбинаторных задач, обеспечивает осознанность и системность комбинаторных понятий.
4. Результаты формирования комбинаторики по экспериментальной методике практически не зависели от уровня успеваемости учащихся по математике, в то время как при традиционном способе обучения такая зависимость сохранялась и успешными оказывались лишь самые сильные (с точки зрения школьной успеваемости) ученики. Данный феномен сглаживания индивидуальных различий объясняется тем, что полноценная ориентировка детей в предмете и опора на активную деятельность в процессе обучения устранила необходимость путем проб и ошибок искать недостающие условия, предоставляла всем детям (а не только наиболее «сообразительным», «умным») достаточные средства, чтобы по-настоящему разобраться в изучаемом материале. Специальным образом построенная пропедевтика и поэтапное формирование действия по составлению из множества его подмножеств (соединений) делают доступными понятия математической комбинаторики не только для подростков, но и для Младших школьников, обнаруживающих высокий интерес и сензитивность к данному содержанию. Полученные эмпирические данные показывают целесообразность введения раздела о комбинаторике в программу по математике начальной школы (при условии соответствующего способа ее преподавания).
05.10.2012
30
15
5. Установлено ощутимое положительное влияние формирования понятий комбинаторики у детей как на развитие их мышления по критериям операциональной теории Ж. Пиаже, так и на показатели их общего умственного развития по критериям теста Дж. Равена и др. Благодаря распространенности и генерализованному характеру усвоенные комбинаторные действия (четкое выделение и систематический перебор признаков, одновременный учет нескольких оснований и др.) дети свободно переносили в контекст различных интеллектуальных заданий, например, классических матричных тестов. Сам факт переноса учащимися полученных знаний на новые задания исключает возможность их формального усвоения и свидетельствует о значительном развивающем потенциале понятий математической комбинаторики. В то же время необходимо дальнейшее исследование роли сформированных комбинаторных понятий в общей структуре мышления детей и подростков.
43
1. Березина Л. Ю. Графы и их применение. М.: Просвещение, 1979.
2. Бунимович Е. А. Вероятностно-статистическая линия в базовом школьном курсе математике //
Математика в школе. 2002. № 4. С. 52–58.
3. Бычкова Л. О. Формирование вероятностно-статистических представлений учащихся при
Обучении математике в средней школе: Автореф. канд. дис. М.: АН СССР; НИИ общ. средн. образ., 1991.
4. Виленкин Н. Я. Популярная комбинаторика. М.: Наука, 1975.
5. Возрастные возможности усвоения знаний / Под ред. Д. Б. Эльконина, В. В. Давыдова. М.:
Просвещение, 1966.
6. Волгина В. Ф. Методика изучения комбинаторики на графах // Математика в школе. 1977. №
1. С. 73–77.
7. Гальперин П. Я., Георгиев Л. С. К вопросу о формировании начальных математических
Понятий // Доклады АПН РСФСР. 1960. № 1, 4, 5.
8. Гальперин П. Я. Обучение и умственное развитие в детском возрасте // Гальперин П. Я.
Психология как объективная наука. М.; Воронеж: Ин-т практ. психологии, 1998.
9. Давыдов В. В. Теория развивающего обучения. М.: ИНТОР, 1996.
10. Жан Пиаже: теория, эксперименты, дискуссии / Под ред. Л. Ф. Обуховой, Г. В. Бурменской.
М.: Гардарики, 2001.
11. Инельдер Б. Развитие представлений о случайности и вероятности в детском возрасте // Жан
Пиаже: теория, эксперименты, дискуссии / Под ред. Л. Ф. Обуховой, Г. В. Бурменской. М.: Гардарики, 2001. С. 261–277.
12. Каменкова Н. Г. Элементы теории вероятностей в начальной школе: Учеб. пособ. СПб.: Изд-
Во РГПУ им. А. И. Герцена, 1999.
13. Математика: Учебник для 5 класса / Под ред. Г. В Дорофеева и др. М.: Просвещение, 1994.
14. Математика: Учебник для 5 класса / Под ред. Л. Н. Шеврина и др. М.: Просвещение, 2003.
15. Математика: Учебник для 6 класса / Под ред. Л. Н. Шеврина и др. М.: Просвещение, 2003.
16. Медведева О. С. Развитие комбинаторного стиля мышления // Математика в школе. 1990. №
1. С. 49–51.
17. Мельников О. И. Использование графов при обучении математике // Нач. школа. 2003. № 5.
С. 21–26.
18. Мордкович А. Г. События, вероятность, статистическая обработка данных // Математика в школе. 2002. № 35. С. 33–41.
19. Пиаже Ж. Теория Пиаже // Жан Пиаже: теория, эксперименты, дискуссии / Под ред. Л. Ф.
Обуховой, Г. В. Бурменской. М.: Гардарики, 2001. С. 106–157.
20. Пиаже Ж. Эволюция интеллекта в подростковом и юношеском возрасте // Жан Пиаже:
теория, эксперименты, дискуссии / Под ред. Л. Ф. Обуховой, Г. В. Бурменской. М.:
Гардарики, 2001. С. 232–243.
05.10.2012
30 16
21. Поддьяков А. Н. Мышление дошкольников в процессе экспериментирования со сложными объектами // Вопр. психол. 1996. № 4. С. 14–24.
22. Полуянов Ю. А. Оценка развития комбинаторных способностей // Вопр. психол. 1998. № 3.
С. 125–136.
23. Равен Дж. К., Курт Дж. Х., Равен Дж. Руководство к прогрессивным матрицам Равена. М.:
Когито-центр, 1997.
24. Селютин В. Д. О подготовке учителей к обучению школьников стохастике // Математика в
Школе. 2003. № 4. С. 63–65.
25. Уилсон Г., Гриллс Д. Как определить умственное развитие ребенка // Тесты для взрослых и
Детей / Сост. Л. Джонсон, М. Дефер. М.: Изд-во ГИТИС, 1994.
26. Флейвелл Дж. Генетическая психология Жана Пиаже. М.: Просвещение, 1967.
27. Хозиев В. Б. Опосредствование в становящейся деятельности. Сургут: Сургутский гос. ун-т,
2000.
28. Шихова А. П. Комбинаторные задачи в 4–6 классах // Математика в школе. 1973. № 5. С.
23–28.
29. Эльконин Д. Б. Интеллектуальные возможности младших школьников и содержание
обучения // Эльконин Д. Б. Избр. психол. тр. М.: Педагогика, 1966.
30. Fischbein E., Schnarch D. The evolution with age of probabilistic, intuitively based misconceptions
// J. Research in Mathematics Educ. 1997. V. 28. N 1. P. 96–105.
31. Huber О. The development of the probability concept: Some reflections // Archives de Psychologie.
1993. V. 61. N 238. P. 187–195.
32. Inhelder B., Piaget J. The growth of logical thinking from childhood to adolescence. L.: Routledge
& Kegan Paul, 1955.
Поступила в редакцию 4.VII 2006 г.
1
Подчеркнем, что для определения доступности разрабатываемой методики детям с
Разной учебной успеваемостью специального отсева учащихся по этому критерию не было, так
Что в выборке присутствовали даже «двоечники».
2
В соединениях Без Повторения предполагается однократное использование в наборе
Каждого элемента множества, в соединениях с повторением каждый элемент может
Использоваться любое количество раз.
05.10.2012
3
1
3 ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ