ОБУЧЕНИЕ МАТЕМАТИКЕ: МОДЕЛИ И ПРОЦЕССЫ

Englis h L. D., Halfo rd G. S. Mathematics education: Models and processes. Mahwah, New Jersey: Lawrence Eribaum Associates, Publishers, 1995. 360 p.

Цель австралийских авторов Л. Д. Инглиш и Г. С. Халфорда — разработка эффективной психологической теории обучения математике. Используя когнитивный подход, опираясь на современные теории представления знаний и рассуждений по аналогии, а также на данные конкретных исследований и практики обучения, авторы формулируют свой собственный подход и показывают пути и возможности развития математического мышления.

Глава «Когнитивная психология и обучение математике» содержит подробный и
разносторонний анализ истории проблемы и ее современного состояния, обусловленного как
научными, так и социальными причинами. Авторы формулируют три проблемы, которым они
уделяют особое внимание в книге. 1. Когнитивная сложность математических понятий, процедур,
процессов, а также трудности, возникающие при ее игнорировании. 2.

Формируемых ментальных моделей и процессов, включая значения математических понятий, предпосылки их понимания, число отношений, которые ребенок должен учитывать одновременно, а также адекватность используемых при формировании аналогий. Ментальные модели определяются как представления, активизирующиеся при решении конкретных задач и обеспечивающие рабочее пространство для умственных операций и выведения заключений. 3. Сущность учения, способствующего математическому развитию.

В главе «Познание и познавательное развитие» рассматриваются общие проблемы представления декларативных и процедурных, явных и неявных знаний, а также проблемы оценки сложности связей и отношений в познаваемых объектах. Авторы выделяют четыре уровня сложности отношений (от уровня, представленного одним параметром, до уровня, представленного четырьмя параметрами) и четыре уровня структурных соответствий, используемых при рассуждении по аналогии. По мере взросления ребенок последовательно переходит на более высокие уровни, но четыре — это максимальное число параметров, которые могут обрабатываться человеком параллельно. В этом контексте анализируются в целом процессы ассоциативного и мета-когнитивного учения, понимания, рассуждения и переноса.

В главе «Когнитивные модели и процессы в обучении математике» показаны роль и взаимосвязи процессов понимания и ассоциативного научения. Анализируются динамика развития у детей процедур и стратегий счета, четыре арифметических действия и операции над дробями. Эта динамика базируется на установлении соответствий все более высокого уровня между отношениями множеств и отношениями чисел. Показано, что, хотя алгебра, в отличие от арифметики, требует операций с переменными, овладение ею может основываться на аналогиях с арифметическими отношениями. Анализируются сложность математических понятий и процедур, принципиальные возрастные ограничения их усвоения и стратегии преодоления этих ограничений. Критикуются подходы, преуменьшающие или отрицающие данные ограничения.

В главе «Модели и процессы овладения числами» дан критический анализ трех типов аналогий и моделей различной степени структурированности, используемых при обучении, и описаны принципы их эффективного построения. Показано, что теория приобретенности счетных умений обладает большей объяснительной силой, чем теория их врожденности. Описаны процессы овладения числами: натуральными многозначными, рациональными и целыми отрицательными. Особую сложность представляет овладение рациональными числами из-за большого числа отношений, которые надо учитывать одновременно, и из-за наличия различных значений, связанных с понятием дроби.

В главе «Элементарные модели и процессы вычислений: сложение и вычитание» показано, что основные сложности у детей связаны с отсутствием адекватных связей между внутренними репрезентациями (ментальными моделями) понятий и процедур и их внешними репрезентациями (конкретными объектами, изображениями и символами). Предлагается схема, объясняющая решение текстовых задач и включающая в себя три модели: а) текста задачи; б) ситуации, описанной в задаче; в) вычислений. Описаны стратегии детей по получению неизвестных фактов о числовых соотношениях на основе уже известных. Данные стратегии способствуют творческому и гибкому овладению процедурами вычислений.

В главе «Элементарные модели и процессы вычислений: умножение и деление» описаны три основных подхода к изучению этих процедур: семантический анализ задачи, анализ имплицитных психологических моделей и анализ размерности задачи. Способность решать текстовые задачи на умножение и деление зависит в большой степени от умения детей формировать модели ситуаций, описанных в задачах. Особую роль в овладении умножением и делением играет понимание так называемых интенсивных величин, включающих в себя отношения между отношениями. Описаны общие подходы и конкретные приемы, способствующие овладению этими процедурами.

В главе «Развитые модели и процессы вычислений» рассматриваются проблемы изучения алгебры и пропорций. Анализируются синтаксический и семантический аспекты овладения алгеброй и связанные с ними трудности (неадекватные представления о переменной, неудачные попытки понять алгебру как обобщенную арифметику без учета специфики этих областей, недостаточное представление о стратегиях). Предлагаются пути улучшения понимания семантики отношений в задаче, формирования умения строить иерархию целей при решении и т. д. Пропорции представляют особую сложность, поскольку они содержат отношения сразу с четырьмя параметрами. Овладение этой областью включает в себя не только умение составлять и решать пропорции, но и умение различать ситуации наличия пропорциональности и ее отсутствия, а также распознавать структурное сходство.

Глава «Решение проблем, постановка проблем и математическое мышление» содержит обзор различных подходов к этому вопросу. Рассматриваются основные компоненты постановки и решения математических проблем: а) модели проблем; б) процессы, лежащие в основе построения стратегий; в) мета-процессы; г) аффективные модели. Роль этих компонентов анализируется на примере решения детьми новых для них задач на комбинаторику и дедуктивные рассуждения. Показано, что дети могут самостоятельно приходить к созданию важных математических представлений. Описаны учебные программы и конкретные приемы, развивающие у детей познавательные процессы высшего порядка.

В заключительной главе дается общий обзор рассмотренных теоретических подходов и полученных результатов, а также обобщаются рекомендации по созданию таких учебных планов и организации такого обучения, которые способствуют осмысленному и продуктивному овладению математикой.

Книга Л. Д. Инглиш и Г. С. Халфорда представляет большой интерес для психологов и педагогов. В ней органически сочетаются широта анализируемых проблем, глубина и детальность их анализа, а также наличие развернутых практических рекомендаций.